2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第11讲函数模型及其应用学案文

第11讲　函数模型及其应用

1．几种常见的函数模型

2.三种函数模型性质比较

常用结论

“对勾”函数的性质

形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．

(2)当x>0时，x＝时取最小值2，

当x<0时，x＝－时取最大值－2.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)幂函数增长比直线增长更快．(　　)

(2)不存在x0，使a<x<logax0.(　　)

(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．(　　)

(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

二、易错纠偏

常见误区|　(1)对三种函数增长速度的理解不深致错；

(2)建立函数模型出错；

(3)分段函数模型的分并把握不准．

1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是　(　　)

A．f(x)>g(x)>h(x)　 B．g(x)>f(x)>h(x)

C．g(x)>h(x)>f(x)  D．f(x)>h(x)>g(x)

解析：选B．由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B．

2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表，

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x　　 B．y＝x2－1

C．y＝2x－2  D．y＝log2x

解析：选D．根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．

3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是________．

解析：由题意可得y＝

答案：y＝

利用函数图象刻画实际问题(师生共研)

(2020·高考北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列四个结论：

①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2.t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是________．

【解析】　设y＝－，由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1，t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为－，由题图易知y甲>y乙，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，所以①对；

由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示，所以②对；

在t3时刻，由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以③对；

由计算式－可知，甲企业在[0，t1]这段时间内污水治理能力最弱，所以④错．

【答案】　①②③

正确理解题目所给的信息，并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键；理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式，并把这个计算式与函数图象在某点处切线的斜率联系起来是正确解决本题的第二个关键．　

1．(2020·河南信阳质量检测)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2，3所示．根据图象判断下列说法正确的是(　　)

①图2的建议为减少运营成本； ②图2的建议可能是提高票价；

③图3的建议为减少运营成本； ④图3的建议可能是提高票价．

A．①④　 B．②④

C．①③  D．②③

解析：选A．根据题意和题图2知，两条直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少了，说明此建议是降低成本而保持票价不变．

由题图3知，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，也就是票价提高了，说明此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．故选A．

2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油

D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

解析：选D．对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1 L汽油的行驶路程可大于5 km，所以A错误，对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1 h的路程为80 km，消耗8 L汽油，所以C错误，对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．

已知函数模型解决实际问题(师生共研)

(1)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　)

A．1倍  B．10倍

C．100倍  D．1 000倍

(2)(2020·陇西咸阳二模)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系式为y＝(如图所示)，实验表明，当药物释放量y<0.75(mg/m3)时对人体无害．求：①k＝________；②为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．

【解析】　(1)设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，

根据题意得d(x1)＝9lg＝63，解得x1＝10－6，

d(x2)＝9lg＝54，

解得x2＝10－7，所以＝10，

所以老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B．

(2)①由题图可知，当t＝时，y＝1，即＝1⇒k＝2.

②由题意可得解得t>，

故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过×60＝40(分钟)人方可进入房间．

【答案】　(1)B　(2)2　40

求解所给函数模型解决实际问题的关键点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．　

(2020·河南安阳模拟)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至2 000，则C大约增加了(　　)

A．10 %  B．30 %

C．50 %  D．100 %

解析：选A．将信噪比从1 000提升至2 000，C大约增加了＝≈≈10 %，故选A．

构建函数模型解决实际问题(多维探究)

角度一　构造一次函数、二次函数模型

(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.

(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了赚得最大利润，每个售价应定为______元．

【解析】　(1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.

(2)设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．

所以当x＝95时，y最大．

【答案】　(1)19　(2)95

角度二　构建指数函数、对数函数模型

某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)

(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)

A．2023年  B．2024年

C．2025年  D．2026年

【解析】　根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2021年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2025年投入的研发资金开始超过200万元，故选C．

【答案】　C

角度三　构建函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)模型

某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．

【解】　设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．

因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．

从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．

角度四　构建分段函数模型

某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

【解】　(1)当x≤6时，y＝50x－115，

令50x－115＞0，解得x＞2.3，

因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.

当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.

令－3x2＋68x－115＞0，

有3x2－68x＋115＜0，

结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.

所以y＝f(x)＝

(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，

显然当x＝6时，ymax＝185；

对于y＝－3x2＋68x－115

＝－3＋(6＜x≤20，x∈Z)，

当x＝11时，ymax＝270.

因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．

(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．

(2)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．　

1．(2020·四川绵阳模拟)2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：

两个旅游团队计划浏览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1 290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为(　　)

A．20  B．30

C．35  D．40

解析：选B．设两个旅游团队的人数分别为a，b且a，b∈N*，不妨令a≥b，因为1 290不能被13整除，所以a＋b≥51.

若51≤a＋b≤100，则11(a＋b)＝990，得a＋b＝90，①

由分别购票共需支付门票费为1 290元可知，11a＋13b＝1 290，②

联立①②解得b＝150，a＝－60，不符合题意；

若a＋b>100，则9(a＋b)＝990，得a＋b＝110，③

由分别购票共需支付门票费为1 290元可知，1≤b≤50，51≤a≤100，

得11a＋13b＝1 290，④联立③④解得a＝70，b＝40.

所以这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.故选B．

2．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤______次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

解析：设至少过滤n次才能达到市场要求，

则2%≤0.1%，即≤，

所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.

答案：8

3．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f(n)表示前n年的纯利润，则从第________年开始盈利．[f(n)＝前n年的总收入—前n年的总费用支出—投资额]

解析：由题意知f(n)＝26n－－60＝－n2＋19n－60.

令f(n)>0，即－n2＋19n－60>0，解得4<n<15，

所以从第5年开始盈利．

答案：5

高考新声音2　美育为魂，陶养身心

“美”是景与情的交融，以美育人，让学生懂得爱、爱美，提高学生审美和人文素养，以美育为背景的考题，多以提高学生审美和人文素养为题材，常以图、文并用的方式表现，意在考查逻辑推理和数学运算等核心素养．

(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)

A．165 cm　 B．175 cm

C．185 cm  D．190 cm

【解析】　26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B．

【答案】　B

本题涉及了“黄金比”和“断臂维纳斯”，并渗透了估值思想．以往高考试题中往往选择中国古代《九章算术》中的数学文化题，这一网红题选择大家熟悉的黄金分割为背景，通过设置真实情景，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培养，使学生能够灵活运用所学知识分析问题和解决问题．　

中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：

①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；

②函数f(x)＝ln(x2＋)可以是某个圆的“优美函数”；

③函数y＝1＋sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”；

④函数y＝2x＋1可以同时是无数个圆的“优美函数”；

⑤函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．

其中正确的命题是________．(填序号)

解析：①对于任意一个圆O，其对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个，①正确；②函数f(x)＝ln(x2＋)的定义域为R，值域为[0，＋∞)，其图象关于y轴对称，且在x轴及其上方，故不可以是某个圆的“优美函数”，②错误；③根据y＝sin x的图象可知函数y＝1＋sin x的图象可以将圆的周长和面积平分，又y＝1＋sin x的图象可以延伸，所以可以同时是无数个圆的“优美函数”，③正确；④函数y＝2x＋1的图象只要过圆心，就可以同时是无数个圆的“优美函数”，④正确；⑤错误，有些中心对称图形对应的函数不一定是圆的“优美函数”，比如“双曲线”，故答案为①③④.

答案：①③④