专题18 几何综合问题-备战2022年中考数学必刷题

十八、几何综合问题

       例题演练

1．在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．

（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．

（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；

（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．

2．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AC的中点，EF＝EC，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，连接FG、FC；点D为BC中点，连接GD，直线GD与直线CF交于点N．

（1）如图1，若∠FCA＝30°，DC＝，求CF的长；

（2）连接BG并延长至点M，使BG＝MG，连接CM．

①如图2，若NG⊥MB，求证：AB＝CM；

②如图3，当点G、F、B共线时，∠BCH＝90°，连接CH，CH＝BC，请直接写出的值．

3．已知△ABC是等边三角形，CD⊥AB交AB于M，DB⊥BC，E是AC上一点，EH⊥BC，垂足为H，EH与CD交于点F，连接BE．

（1）如图1，若EC＝AC，EH＝6，求BE的长；

（2）如图2，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，AG交CD于Q，求证：BG＝CF；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接FG，交BE于N，连接MN，若＝，△AGF的面积为49，求MN的长．

4．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．

（1）如图1，点D在BC上，DE⊥BC于点D，连接BE，若∠DBE＝60°，AC＝4，BD＝2，求线段AE的长；

（2）如图2，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，F是CD的中点，连接BF，若∠BAD＝∠CBF，求证：∠DBF＝45°；

（3）如图3，A点关于直线BC的对称点为A'，连接A'C，点D是△A'AC内部一动点且∠ADC＝90°，若AC＝4，当线段A'D最短时，直接写出△ABD的面积．

5．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．

（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；

（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+A′C最小时，求S△A′BC．

6．△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．

（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；

（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；

（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．

7．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，过点B作BD⊥AC交AC于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE＝BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．

（1）若BF＝4，求△ADQ的面积；

（2）求证：CH＝2BQ；

（3）如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC交AC于点R．当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．

8．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点F为DE中点，连接CF．

（1）如图1所示，若点D正好在BC边上，求证：∠B＝∠ACE；

（2）如图2所示，点D在BC边上，分别延长CF，BA，相交于点G，当tan∠EDC＝3，CG＝5时，求线段BG的长度；

（3）如图3所示，若AB＝4，AE＝2，取CF的中点N，连接BN，在△ADE绕点A逆时针旋转过程中，求线段BN的最大值．

9．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．

（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；

（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB＝AB+GC；

（3）如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当GB﹣GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．

10．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接BE，交CD于点F．

（1）如图1，若∠ABE＝15°，BC＝+1，求DF的长；

（2）如图2，若BF＝AC，过点D作DG⊥BE于点G，求证：BE＝CE+2DG；

（3）如图3，若R为射线BA上的一个动点，以BR为斜边向外作等腰直角△BRH，M为RH的中点．在（2）的条件下，将△CEF绕点C旋转，得到△CE'F'，E，F的对应点分别为E'，F'，直线MF'与直线AB交于点P，tan∠ACD＝，直接写出当MF'取最小值时的值．

11．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，连接AD，F为AD中点，连接CF并延长交AB于点G，连接EF．

（1）当∠DAB＝30°，BE＝2时，求DC的值；

（2）如图2，当BE：AG＝3：4时，试判断AG2、GE2、CD2之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝4，M是AB中点，连接CM，三角形内有一点P到点M的距离是1，连接BP，将BP绕点P逆时针旋转90°得到PN，当线段AN长度取最大值时，设直线PN与直线BC的交点为H，请直接写出的值．

12．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．

（1）如图1所示，若BC＝4，在D点运动过程中，当tan∠BDE＝时，求线段CD的长；

（2）如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF＝CF；

（3）如图3，若AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′＝PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．

13．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．现将△DCE绕点C旋转．

（1）如图1，若A、D、E三点共线，AD＝，求点B到直线CE的距离；

（2）如图2，连接AE、BD，点F为线段BD的中点，连接CF，求证：AE⊥CF；

（3）如图3，若点G在线段AB上，且AC＝8，AG＝7，在△ACG内部有一点O，请直接写出OC+OA+OG的最小值．

14．已知，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．

（1）如图1，当∠CDE＝30°，AD＝1，BD＝3时，求线段DE的长；

（2）如图2，当CE＝DE时，求证：点E为线段AF的中点；

（3）如图3，当点D与点A重合，AB＝4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．

15．等腰直角△ACB中，∠C＝90°，点D为CB延长线上一点，连接AD，以AD为斜边构造直角△AED（点E与点C在直线AD的异侧）．

（1）如图1，若∠EAD＝30°，AE＝，BD＝2，求AC的长；

（2）如图2，若AE＝DE，连接BE，猜想线段BE与线段AD之间的数量关系并证明；

（3）如图3，若AC＝4，tan∠BAD＝，连接CE，取CE的中点P，连接DP，当线段DP最短时，直接写出此时△PDE的面积．

16．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，过点A作AE⊥AB．连接BE，CE，M为平面内一动点．

（1）如图1，点M在BE上，连接CM，CM⊥BE，过点A作AF⊥BE于点F，D为AC中点，连接FD并延长，交CM于点H．

①若AE＝2，AB＝4，则S△AEC＝　 　；

②求证：MF＝MH．

（2）如图2，连接BM，EM，过点B作BM′⊥BM于点B，且满足BM′＝BM，连接AM′，MM′，过点B作BG⊥CE于点G，若S△ABC＝18，EM＝3，BG＝4，请求出线段AM′的取值范围．

17．已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M是CE的中点．

（1）如图1，若点F与A重合，D在B，A延长线上时，直接写出BM，BD的数量关系　                　．

（2）如图2，若点F与A重合，且点C，E，D在同一直线上，连接BE，当AB＝AE＝2，求BD的长．

（3）如图3，若等腰Rt△DEF的斜边EF在射线AC上运动时，AB＝2，DE＝，求BE+BD的最小值．

18．在平行四边形ABCD中，AE⊥EC于点E，AE＝EC．

（1）如图1，连接BD，若tan∠ADC＝3，BE＝1，求BD的值；

（2）如图2，连接AC，F是AC的中点，过点E作EG⊥AB于点G，延长GE交DC的延长线于点H，连接FH．请猜想CH、AG、FH的关系，并证明你的结论；

（3）如图3，在（1）的条件下，将△ABE绕点E顺时针旋转一定的角度α（0°＜a＜90°），得到△A'B'E，当∠A'＝∠A'EA时，停止旋转，此时边A'B'与边AE交于点P．点M是边BC上一动点，点N是平面内一点，△DMN是等边三角形，直接写出PN的最小值．

19．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边延长线上的任意一点，AE交CD于点G，∠AEB绕点E逆时针旋转后点B的对应点B′落在AE上，另一边EA′交CD的延长线于点F．

（1）如图1，若正方形ABCD的边长为1，∠AEB＝30°，求线段DF的长；

（2）如图2，若点G是CD的中点时，过点G作GH⊥AF于点H．求证：2DH＝CE；

（3）如图3，若点G是CD的中点时，试探究CE、EF、AF有怎样的数量关系？直接写出结果．

20．如图，Rt△ABC中，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α，A、B的对应点分别为D、E．连接BE并延长，与AD交于点F．

（1）如图1，若α＝60°，连接AE，求AE长度；

（2）如图2，求证：BF＝DF+CF；

（3）如图3，在射线AB上分别取点H、G（H、G不重合），使得BG＝BH＝1，在△ABC旋转过程中，当FG﹣FH的值最大时，直接写出△AFG的面积．