专题10 概率初步-备战2022年中考数学必刷题

十、概率初步

知识点拨

概率分析方法：

（1）列举法（适应一个过程）：列出所有等可能基本事件结果，再数清所求事件所含的基本事件个数,最后相除。

（2）列表法（适应两个过程）：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标．

特别注意放回去与不放回去的列表法的不同．

如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字１、２、３，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？若不放回去，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？

放回去　P（１和２）=　　　　　　　不放回去P（１和２）=

（3）树状图法（适应一个两个或多个过程）：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．

还是以上例题：(1)放回去,树状图如下:　　　　　

由树状图可知,总共有9种等可能结果，而两次抽到数字为数字１和２或者２和１的结果有两种。∴ P（１和２）=　　

不放回去, 树状图如下:　

∴ P（１和２）=

       例题演练

1．现有4张完全相同的卡片分别写着数字﹣2，1，3，4．将卡片的背面朝上并洗匀，从中任意抽取一张，将卡片上的数字记作a．再从余下的卡片中任意抽取一张，将卡片上的数字记作c，则抛物线y＝ax2+4x+c与x轴有交点的概率为　　．

【解答】解：画树状图如下

由树状图知，共有12种等可能结果，其中能使Δ＝42﹣4ac≥0，即ac≤4的有10种结果，

∴抛物线y＝ax2+4x+c与x轴有交点的概率为＝，

故答案为：．

2．有六张正面分别写有数字﹣4，﹣3，0，2，3，4的卡片，六张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n，则抽取的n既能使关于x的方程x2﹣2（n+1）x+n（n﹣3）＝0有实数根，又能使以x为自变量的二次函数y＝﹣x2+2nx+1当x＞2时，y随x的增大而减小的概率为 　　．

【解答】解：∵x2﹣2（n+1）x+n（n﹣3）＝0有实数根，

∴△≥0，

即[﹣2（n+1）]2﹣4n（n﹣3）≥0，

∴n，

又∵y＝﹣x2+2nx+1，

对称轴x＝﹣＝﹣＝n，

∵当x＞2时，y随x的增大而减小，

∴n≤2，

综上：，

∴n可取0，2．

∴P＝．

3．两个人做游戏：每个人都从﹣，1，这三个数中随机选择一个写在纸上，则两人所写的两个数绝对值相等的概率为　　．

【解答】解：画树状图为：

共有9个等可能的结果，其中两人所写的两个数绝对值相等的结果数为5个，

∴两人所写的两个数绝对值相等的概率＝．

故答案为：．

4．现从四个数1，2，﹣1，﹣3中任意选出两个不同的数，分别作为二次函数y＝ax2+bx中a，b的值，则所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y轴右侧的概率是　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，所得二次函数满足开口方向向下（a＜0）且对称轴在y轴右侧（﹣＞0）的结果有4个，

∴所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y轴右侧的概率为＝，

故答案为：．

5．一个纸箱内装有四张卡片，正面分别标有数字﹣4，﹣1，2，3，卡片背面完全相同，搅匀后，从中随机摸出一张卡片（不放回）记下数字，再从中随机摸出一张卡片并记下数字．若两次取得数字之积为k，则正比例函数y＝kx的图象经过二、四象限的概率为　　．

【解答】解：列表如下，

由表知，共有12种等可能结果，其中数字之积k＜0的有8种结果，

所以正比例函数y＝kx的图象经过二、四象限的概率为＝，

故答案为：．

6．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，

∴两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率为＝，

故答案为：．

7．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的5个小球，其中3个红球、2个黄球．如果第一次先从袋中摸出1个球后不放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄球的概率是 　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有20种等可能的结果，两次都摸到黄球的结果有2种，

∴两次都摸到黄球的概率为＝，

故答案为：．

8．不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为 　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有2种，

∴两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为，

故答案为：．

9．小南和小开在新华书店选购了部分课外阅读书籍，结账时发现该书店自助收银系统允许购书读者从“微信”“支付宝”“云闪付”“网银”四种支付方式中任选一种方式进行支付，则他们分别独立结账，恰好选择的是同一种支付方式的概率为　　．

【解答】解：把“微信”“支付宝”“云闪付”“网银”四种支付方式分别记为A、B、C、D，

列表如下：

共有16种等可能的结果，其中小南和小开两人恰好选择的是同一种支付方式的有4种，

∴P（两人恰好选择同一种支付方式）＝＝，

故答案为：．

10．一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别标有“﹣2，﹣1，0，1，4，5”这六个数，若将第一次投掷骰子正面向上的数记为x，第二次投掷骰子正面向上的数记为y，则点（x，y）在第四象限的概率为　　．

【解答】解：列表得：

∵共有36种等可能的结果，其中点（x，y）在第四象限的有6种，

∴点（x，y）在第四象限的概率为＝．

故答案为：．

11．袋中有五颗球，除颜色外全部相同，其中红色球三颗，标号分别为1，2，3，绿色球两颗，标号分别为1，2，若从五颗球中任取两颗，则两颗球的标号之和不小于4的概率为　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有20个等可能的结果，两颗球的标号之和不小于4的结果有10个，

∴两颗球的标号之和不小于4的概率为＝，

故答案为：．

12．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有﹣5，﹣1，2，3这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为m，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为n，则m，n使得二次函数y＝mx2+n的图象同时经过四个象限的概率为　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，m，n使得二次函数y＝mx2+n的图象同时经过四个象限的结果有8个，

∴m，n使得二次函数y＝mx2+n的图象同时经过四个象限的概率为＝，

故答案为：．

13．现从﹣2，﹣，3中，任取两个不同的数分别作为二次函数y＝ax2﹣2x+b中的a和b，则所得抛物线与x轴有公共点的概率为　　．

【解答】解：﹣＝﹣0.5，＝0.5，根据题意画图如下：

，

共有12种等情况数，其中抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴有公共点（4﹣4ab≥0，即ab≤1）的有10种情况，

则抛物线y＝ax2﹣2x+b与x轴有公共点的概率为＝，

故答案为：．

14．重庆一中即将举行90周年校庆文艺汇演，初三（二）班有两名男生一名女生报名参加，初三（五）班有一名男生两名女生报名参加．若分别从这两个班的报名同学中随机地各选一名同学，则选中的两名同学恰好一男一女的概率是　　．

【解答】解：列表如下，

由表可知，共有9种等可能结果，其中选中的两名同学恰好一男一女的有5种结果，

所以选中的两名同学恰好一男一女的概率为，

故答案为：．

15．从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，不能组成三角形的概率是　　．

【解答】解：从1，2，3，4四条线段中任选三条，共有四种情况2，3，4；1，3，4；1，2，4；1，2，3，其中构成三角形的只有一种2，3，4，

∴不能组成三角形的概率是，

故答案为：．

16．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为﹣2，﹣1，0，2，从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和是负数的概率是　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有16个等可能的结果，两次摸出的球的编号之和是负数的结果有8个，

∴两次摸出的球的编号之和是负数的概率为＝，

故答案为：．

17．从1、﹣1、2这三个数中任取两个数，其中一个数记为m，另一个数记为n，则点P（m，n）恰好落在一次函数y＝﹣x+1的图象上的概率为　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，点P（m，n）恰好落在一次函数y＝﹣x+1的图象上的结果有2个，

∴点P（m，n）恰好落在一次函数y＝﹣x+1的图象上的概率为＝，

故答案为：．

18．某班级准备举办篮球竞赛，计划以A、B两组对抗赛方式进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，B组有男生1人，女生4人，若从两组中各随机抽取1人，则抽取到的两人恰好是1男1女的概率是　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有25个等可能的结果，抽取到的两人恰好是1男1女的结果有14个，

∴抽取到的两人恰好是1男1女的概率为，

故答案为：．

19．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有﹣2，﹣1，0，1这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为m，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为n．则使得一次函数y＝mx+n的图象经过第一象限的概率为　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，使得一次函数y＝mx+n的图象经过第一象限的结果有5个，

∴使得一次函数y＝mx+n的图象经过第一象限的概率为，

故答案为：．

20．小红有3张牌，标号为1，2，5；小白也有3张牌，标号为0，4，5；两人分别随机地取出1张牌，取出的两张牌标号数字之积为偶数的概率是　　．

【解答】解：画树状图如图：

共有9个等可能的结果，取出的两张牌标号数字之积为偶数的结果有7个，

∴取出的两张牌标号数字之积为偶数的概率为，

故答案为：．