专题03 尺规作图及简单几何证明-备战2022年中考数学必刷题

三、尺规作图及简单几何证明

知识点拨

尺规作图九种基本图形

（1）题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .

求作：线段AB，使AB = a .

作法：

（1）       作射线AP；

（2）       在射线AP上截取AB=a .

则线段AB就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。

已知：如图，线段MN.

求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.

作法：

（１）分别以M、N为圆心，大于　　

　的相同线段为半径画弧，

两弧相交于P，Q；

（２）连接PQ交MN于O．

则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，

求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：

（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA，OB于M，N；

（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　

　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；

（3）       作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

（4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB

作法：

（1）作射线O’A’；

（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；

（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；

（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；

（5）连接O’N’并延长到B’。

则∠A’O’B’就是所求作的角。

（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：如图，P是直线AB上一点。

求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。

作法：

（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；

（2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；

（3）过D、Q作直线CD。

则直线CD是求作的直线。

（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线

已知：如图，直线AB及外一点P。

求作：直线CD，使CD经过点P，

且CD⊥AB。

作法：

（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；

（2）分别以M、N圆心，大于长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；

（3）过P、Q作直线CD。

则直线CD就是所求作的直线。

（7）题目七：已知三边作三角形。

已知：如图，线段a，b，c.

求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.

作法：

（1）       作线段AB = c；

（2）       以A为圆心，以b为半径作弧，

以B为圆心，以a为半径作弧与

前弧相交于C；

（3）       连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

（8）题目八：已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段m，n, ∠.

求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.

作法：

（1）       作∠A=∠；

（2）       在AB上截取AB=m ,AC=n；

（3）       连接BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

（9）题目九：已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，∠，∠，线段m . 

求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.

作法：

（1）       作线段AB=m；

（2）       在AB的同旁

作∠A=∠，作∠B=∠，

∠A与∠B的另一边相交于C。

则△ABC就是所求作的图形（三角形）。

       例题演练

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．

（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．

2．如图，在矩形ABCD中，AO＝OC．

（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）

（2）求证：四边形AFCE是菱形．

3．如图，已知等边△ABC中边AB＝10，按要求解答下列问题：

（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BP，射线BP交边AC于点P．（不写作法，用2B铅笔作图并保留痕迹）

（2）在（1）作图中，若点D在线段BP上，且使得AD＝5，求BD的长．（结果保留根号）

4．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线EF，分别与线段AB、AC，AD交于点E、F，G；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）连接BG、CG，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积．

5．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．

（1）请用尺规作出△ABC两腰上的中线BD、CE（保留痕迹，不写作法）；

（2）结合图形，写出已知、求证和证明过程．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝120°．

（1）作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，延长CA，交直线DE于点F；

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，求证：AC＝AF．

7．如图，在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°．

（1）用尺规作图的方法作出AC边的中垂线；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）求△ABC的面积．

8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．

（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得EA＝ED；

（2）在（1）的条件下，连接CE，若∠A＝60°，AB＝6，AD＝4，求线段CE的长．

9．如图，BD是△ABC的角平分线．

（1）用直尺和圆规过点D作DF⊥BC，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（2）若BC＝5，AB＝6，S△ABC＝11，求DF的长．

10．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M．

（1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）

（2）求证：AE＝CF．

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD，E是边CA延长线上一点，射线AF平分∠BAE．

（1）过点B作AF的垂线，垂足为G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）所作的图中，求证：四边形BDAG是矩形．

12．如图，在平行四边形ABCD中，CF平分∠BCD交B于点F．

（1）尺规作图：过点A作AE平分∠BAD交BD于点E；

注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．

（2）求证：AE＝CF．

13．如图，△ABC中，BA⊥AC，∠B＝31°．

（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；

（2）在（1）作图的基础上，连接AE、CD，求∠AED的度数．

14．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF＝AE，连接OF，若OD＝2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．

15．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：

①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N，交BC于点M；

②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；

③作射线BG交AD于F；

④作FE∥AB交BC于E；

⑤连接AE交BF于点P；

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）连接CP，若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求CP的长．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线PB折叠，得到△EBP．

（1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分∠PBC，并求出此时△BEC的面积；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法．）

（2）连接CE并延长交线段AD于点Q，则AQ的最大值为 　 　．（直接写出答案）

17．如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）

（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；

（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．

18．如图，四边形ABCD为正方形．

（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在正方形内作一点P，使得点P到AB、CD的距离相等，且点P到BC的距离等于PA的长；（不要求写做法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为4，求PA的长．

19．已知：∠AOB和线段a．求作：⊙P，使它与∠AOB的两边相切，半径等于线段a．

20．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．

已知：⊙O和圆外一点P．

求作：过点P的⊙O的切线．

作法：①连接OP；

②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；

③作直线PA，PB；

所以直线PA，PB为⊙O的切线．

根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．

证明：连接OA，OB．

∵OP为⊙M的直径，

∴∠OAP＝∠OBP＝　   　°，（ 　   　）（填推理的依据）

∴OA⊥AP，　   　⊥BP．

∵OA，OB为⊙O的半径，

∴直线PA，PB为⊙O的切线．（ 　   　）（填推理的依据）