专题02 单中点与双中点模型--中考数学必备几何模型讲义（全国通用）

专题02 单中点与双中点模型

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

                      ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.

在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。

模型一、双中点-中位线模型

如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.

例.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（　　）

A． B．2 C． D．2

【答案】C

【详解】解：连接DE，如图所示：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∵CD⊥AB，∴AD=BD，即点D为AB的中点．

∵E为BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE=AC，∴△DEF∽△CAF，

∴DF：CF=DE：AC=1：2，∴DF=CD=，∴CD=．∴AB=2．

∵AC=BC，∴AC2+BC2=2AC2=AB2=8．∴AC=BC=2．∴CE=1．

在直角△ACE中，由勾股定理知：AE=．

故选：C．

【变式训练1】如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN．

【答案】见解析

【详解】证明：连接BG和CE交于O，

∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，

∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，

在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．

∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，∴MQ＝CE，QN＝BG，

∵BG＝CE，∴QN＝MQ．

【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，顶点和边的中点均在函数的图象上，则的面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，，则，，

∵是边的中点，，

设，则，

∵顶点和边的中点均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，

，，，，，．

故选：．

【变式训练3】如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是AB的中点，E是BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为                  .

【答案】

【详解】如图，过点A作AM∥DE交BC的延长线于点M，过点C作CN⊥AM，垂足为N.

∵D是AB的中点，∴E为BM的中点，即BE＝EM，

又∵DE平分△ABC的周长，∴AC+CE＝BE，∴MC+CE＝AC+CE，∴MC＝AC，

∵CN⊥AM，∠ACB＝60°，∴∠CAN＝60°，

在Rt△CAN中，AN＝AC·sin60º＝，∴AM＝2AN＝，∴DE＝AM＝.

模型二、 单中点-倍长中线模型

例.如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：．

【答案】见解析

【详解】证明：如图，过点B作交CE的延长线于点F．

∵CE是的中线，，∴，，，

在和中，∵∴（AAS），

∴，，∴，

又∵，CB是的中线，∴，

∵，∵，∴，

在和中，∵

∴（SAS），

∴．

【变式训练1】已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．

（1）如图1，①若，请直接写出______；

②连接，若，求证：；

（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析

【详解】（1）①∵，，∴

∵，∴

又∵，∴

∴，故答案为．

②如图，延长至点，使得，连接，

∵点为的中点，∴，

又∵，∴≌，∴，∴，∴，

又∵，∴，∴，∴．

（2）．如图，延长至点，使得，连接，

∵，，

∴≌，∴，，

∵．∴≌，∴．

【变式训练2】如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：

探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；

探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．

【答案】见解析

【详解】（1）AB＝AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G点，

根据图①得△ABE≌△GCE，∴AB＝CG，

又AB∥DC，∴∠BAE＝∠G

而∠BAE＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴AF＝GF，

∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF；

（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，

根据CF∥AB得△ABE∽△GCE，∴AB：CG＝BE：CE，

而BE：EC＝1：2，AB＝4，∴CG＝8，

又AB∥FC，∴∠BAE＝∠G，

而∠BAE＝∠EDF，∴∠G＝∠EDF，∴DF＝GF，

而CF＝2，∴DF＝CG﹣CF＝8﹣2＝6．

【变式训练3】如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　　．

【答案】

【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，

∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，

∵PE⊥AC，∴AE＝EF，

∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，

在△PFD和△QCD中，

∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，

∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，

∴AE+CD＝DE＝AC，

∵AC＝3，∴DE＝，

故答案为．

模型二、 单中点-“三线合一”模型

如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.

例.如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF⊥FD.

【答案】见解析

【解析】如图，连接CF.

∵AC＝CE，F为AE的中点，∴CF⊥AE，∴∠AFD＋∠DFC＝90º，

∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，AB⊥CE，∠ABC＝∠BAD＝90º，

在Rt△ABE中，∵F为AE的中点，∴BF＝AF，∴∠FBA＝∠FAB，

∴∠FAB＋∠BAD＝∠FBA＋∠ABC，即∠FBC＝∠FAD，

又∵AD＝BC，FA＝FB，∴△FBC≌△FAD，∴∠AFD＝∠BFC，

∴∠BFD＝∠BFC＋∠DFC＝∠AFD＋∠DFC＝90º，∴BF⊥FD.

【变式训练1】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（     ）

A.    B.    C.    D.

【答案】C

【解析】如图，连接AM.

∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，

∵AC＝5，CM＝BC＝3，∴AM＝4，

∴在Rt△AMC中，AMCM＝ACMN，即4×3＝5MN，解得MN＝.

【变式训练2】半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M与圆心O重合，求图中阴影部分面积？

【答案】

【解析】如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB.

由题意可得OM⊥AB，且OC＝MC＝，

在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，，

∴∠AOC＝60º，AB＝2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120º，

则，

.

课后训练

1. 如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】B

【解答】解：延长BN交AC于D，

在△ANB和△AND中，

，∴△ANB≌△AND，

∴AD＝AB＝8，BN＝ND，

∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝6，

∴AC＝AD+CD＝14，

故选：B．

2.如图，O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（     ）

A.    B. 5   C.    D.

【答案】D

【解析】如图，连接OA、OC，OC交AB于点D.

∵点C是的中点，∴OC⊥AB且平分AB，即AD＝AB，

∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，

在Rt△AOD中，，∴AD＝AO·＝，∴AB＝2AD＝.

3.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　　．

【答案】

【解答】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．

∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．

∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，

同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．

∴在Rt△PHG中，PG＝＝＝．

故答案是：．

4．如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点G，若DG=GE，说明：△ABC为等腰三角形．

【答案】见解析．

【详解】解：如图，过D作DF∥AC交BC于F，

∵DF∥AC，∴∠DFC=∠FCE，

∵∠DGF=∠CGE，DG=GE，∴△DFG≌△ECG（AAS），∴DF=CE，

∵BD=CE，∴BD=DF，∴∠B=∠DFB，

∵DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB，∴∠B=∠ACB，∴AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形．

5．如图所示，已知在中，D是AB的中点，，，求．

【答案】

【详解】如图所示，作交BC于点E，得，∴ ，

设，则，∴，

由中位线定理得AC＝6x，

在中，，∴；

6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN的形状.

【答案】四边形PQMN为菱形

【解析】如图，连接AC、BD.

∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠AEC＝120º，∠BED＝120º，∴∠AEC＝∠BED，

又∵EA＝ED，EC＝EB，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD，

又∵P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴PNBD，QMBD，

∴PNQM，∴四边形PQMN是平行四边形，

又∵PN＝BD，MN＝AC，∴MN＝PN，∴四边形PQMN是菱形.

7.如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长.

【答案】

【解析】如图，连接EH、DH.

由题意可得EH、DH分别为Rt△BEC、Rt△BDC斜边上的中线，∴DH＝EH＝BC＝11，

∵点G为ED的中点，∴DG＝EG＝5，又∵HG⊥DE，∴在Rt△HGD中，HG＝.

8．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．

（1）如图1，①若，请直接写出______；

②连接，若，求证：；

（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析

【详解】（1）①∵，

∴

∵，∴

又∵，∴

∴

故答案为．

②如图，延长至点，使得，连接，

∵点为的中点，∴，

又∵，∴≌，

∴，∴，∴，

又∵，∴，∴，∴．

（2）．如图，延长至点，使得，连接，

∵，，∴≌，

∴，，

∵．∴≌，

∴．