课时训练23　解直角三角形的应用

课时训练(二十三)　解直角三角形的应用

(限时:30分钟)

|夯实基础|

1.[2017·温州] 如图K23-1,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是 (　　)

图K23-1

A.5米                                         B.6米 

C.6.5米                                         D.12米

2.[2018·长春] 如图K23-2,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A,B两地之间的距离为              (　　)

图K23-2

A.800sinα米                            B.800tanα米

C.米                                D.米

3.[2018·苏州] 如图K23-3,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为              (　　)

图K23-3

A.40海里                            B.60海里

C.20海里                            D.40海里

4.[2017·重庆B卷] 如图K23-4,已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上),某同学从点C出发,沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处.斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°,则建筑物AB的高度约为              (　　)

(精确到0.1米,参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)

图K23-4

A.29.1米                             B.31.9米 

C.45.9米                             D.95.9米

5.如图K23-5,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上;航行2小时后到达N处,观测到灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°=0.9272,sin46°=0.7193,sin22°=0.3746,sin44°=0.6947)              (　　)

图K23-5

A.22.48海里                          B.41.68海里

C.43.16海里                          D.55.63海里

6.[2017·泰州] 小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m,则小明沿垂直方向升高了　　　　m. 

7.如图K23-6,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°,测角仪高AD为1 m,则旗杆高BC为　　　　m(结果保留根号). 

图K23-6

8.[2018·南宁] 如图K23-7,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°.已知甲楼的高AB是120 m,则乙楼的高CD是　　　　m.(结果保留根号) 

图K23-7

9.[2018·宁夏] 一艘货轮以18 km/h的速度在海面上沿正东方向航行,当行驶至A处时,发现它的东南方向有一灯塔B,货轮继续向东航行30分钟后到达C处,发现灯塔B在它的南偏东15°方向,则此时货轮与灯塔B的距离为　　　　km. 

图K23-8

10.[2017·苏州] 如图K23-9,在一笔直的沿湖道路上有A,B两个游船码头,观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向,在码头B北偏西45°的方向,AC=4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B,设开往码头A,B的游船速度分别为v1,v2,若回到A,B所用时间相等,则=　　　　(结果保留根号). 

图K23-9

11.[2018·成都] 由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务,如图K23-10,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向,如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

图K23-10

12.[2017·河南] 如图K23-11所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航.某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C,此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向,已知A船的航速为30海里/时,B船的航速为25海里/时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈,≈1.41

图K23-11

|拓展提升|

13.[2018·泰州] 日照间距系数反映了房屋日照情况,如图K23-12①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数=L∶(H-H1),其中L为楼间水平距离,H为南侧楼房高度,H1为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图②,山坡EF朝北,EF长为15 m,坡度为i=1∶0.75,山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB,底部A到E点的距离为4 m.

图K23-12

(1)求山坡EF的水平宽度FH;

(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少多远?

参考答案

1.A　[解析] 小车水平行驶的距离为13×cosα=12(米),由勾股定理得其上升的高度为=5(米).

2.D　[解析] 由题中条件可知,在Rt△ABC中,∠ABC=α,AC=800米,由题意得tanα=,可得AB=米.

3.D　[解析] 解答本题时要利用直角三角形的边角关系和勾股定理来进行计算.由题意可知AB=20海里,∠APB=30°,∴PA=20海里,∵BC=2×20=40(海里),∴AC=60海里,∴PC===40(海里),故选D.

4.A　[解析] 过点D作DE⊥BC,垂足为E,解直角三角形CDE得:DE=75米,CE=180米,根据BC=306米可求得BE=126米,过A作AF⊥DE于F,所以AF=BE=126米,∵∠DAF=20°,根据tan20°≈0.364,即==0.364,求得DF=45.864米,∴AB=75-DF≈29.1米.

5.B　[解析] 如图,过点P作PA⊥MN于点A,

MN=30×2=60(海里),

∵∠MNC=90°,∠CNP=46°,

∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136°,

∵∠BMP=68°,

∴∠PMN=90°-∠BMP=22°,

∴∠MPN=180°-∠PMN-∠PNM=22°,

∴∠PMN=∠MPN,∴MN=PN=60海里,

∵∠CNP=46°,∴∠PNA=44°,

∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68(海里).

6.25　[解析] 如图,过点B作BE⊥AE于点E,

∵坡度i=1∶,

∴tanA=1∶=,∴∠A=30°,

∵AB=50 m,∴BE=AB=25(m).

∴他升高了25 m.

7.(10+1)

8.40　[解析] ∵俯角是45°,∴∠BDA=45°,∴AB=AD=120 m,又∵∠CAD=30°,∴在Rt△ADC中,tan∠CAD=tan30°==,∴CD=40(米).

9.18　[解析] 如图,过点C作CD⊥AB于点D,则∠CAD=45°,∠ACB=105°,从而∠B=30°,由题意得AC=×18=9(km).在Rt△ACD中,sin∠CAD=,从而CD=ACsin∠CAD=9×sin45°=9×=9(km).在Rt△BCD中,∵∠B=30°,∴BC=2CD=18(km),故填18.

10.　[解析] 作CD⊥AB,垂足为D,∵AC=4,∠CAB=30°,∴CD=2.在Rt△BCD中,∠CBD=45°,∴BC=2.∵开往码头A,B的游船回到A,B所用时间相等,∴=,∴==.

11.解:由题意得,∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80.

在Rt△ADC中,cos∠ACD=,

∴CD=AC·cos70°≈80×0.34=27.2(海里).

在Rt△BDC中,tan∠BCD=,

∴BD=CD·tan37°≈27.2×0.75=20.4(海里).

答:还需航行的距离BD的长为20.4海里.

12.解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,

设BD为x海里,

在Rt△ACD中,∠DAC=45°,

∴AD=DC=(x+5)海里,

在Rt△BCD中,由tan53°=,得=,

∴x=15,

则BC==25(海里),

AC==20(海里),

∴A到C用时为:≈0.94,

B到C用时为:=1,

∵0.94<1,∴C船至少要等0.94小时才能得到救援.

13.解:(1)在Rt△EFH中,=i=1∶0.75,EH2+FH2=EF2=152,

∴FH=9,EH=12,

答:山坡EF的水平宽度FH的长度为9 m.

(2)过点A作AG⊥CF,交CF的延长线于点G,过点P作PK⊥AG于点K,

则KG=PC=0.9,AG=EH=12,

∴BK=BA+AG-KG=22.5+12-0.9=33.6,

∵≥1.25,

∴PK≥1.25BK=1.25×33.6=42,

∴CG≥42,

∵FH=9,HG=EA=4,∴CF≥29,

答:底部C距F处至少29 m.