2020-2021学年广东省佛山市第一中学高一上学期期中考试 数学

命题、审题人

说明：1.本试题共4页，共22题.全卷满分150分，考试用时120分.

      2.请将答案填写在答题卡上相应位置.

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则=

A.              B.             C.             D.

2. 命题“ ”的否定形式是（其中为常数）

A．            B.  

   C.              D.

3. 若函数是幂函数，且 在上单调递增，则=

A.  B. C. 2 D. 4

4. “”是“方程只有一个解”的

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 非充分必要条件

5. 设是定义在上的奇函数，当时，，则

A.  B.                  C.                     D.

6. 已知，则的大小关系为

A.  B. C.          D.

7. 已知是定义在 上的偶函数，且在上为增函数，则不等式 的解集为

A.     B.    C.   D.

8. 已知 的解集为，关于x的不等式 的解集为

A．                 B.  

C.                  D.

二、不定项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．下列命题为真命题的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若且，则

10.某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系

(，为常数)若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是

  A．                            B. 储存温度越高保鲜时间越长

C. 在的保鲜时间是小时       D. 在的保鲜时间是小时

11.已知函数，则下列正确的是

A.                     B.   

C.                   D. 的值域为

12.已知不等式 的解集为，则下列结论正确的是

  A.                        B.          

C.                        D. 的解集为

三、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分

13.不等式 的解集是______． 

14.计算 =_______.

15.研究表明，函数 为奇函数时，函数 的图象关于点成中心对称，若函数的图象对称中心为，那么

16.对于实数 ，且 ，则 的最小值为________.

四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本题满分10分）

设集合，．

（Ⅰ）若，求 ；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围．

18. （本题满分12分）

设函数，且 ．

（Ⅰ）求 解析式；

（Ⅱ）判断在区间上的单调性，并利用定义证明．

19. （本题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）若 ，求 的定义域;

（Ⅱ）若在区间 上是减函数，求实数的取值范围.

20. （本题满分12分）

已知函数. 

（Ⅰ）若为偶函数，求的值；

     （Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

21.( 本题满分12分)

已知函数，函数的最小值为．

(Ⅰ)求 求；

(Ⅱ)是否存在实数m、n，同时满足以下条件：

①；

②当的定义域为时，值域为．

若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

22.( 本题满分12分)

    为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有名技术人员，年人均投入 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名( 且 )，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.

(Ⅰ)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人?

(Ⅱ)是否存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；

②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.

若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由.

2020-2021学年度上学期高一期中考试数学试题答案

（2020.10.11）

一、选择题

三、填空题  13.；    14.；      15.1；  ；     16.

四、解答题: 本题共6小题，共70分.

17. （10分）【解】（Ⅰ），  ……………………………………2分

当时，，       ……………………………………3分

，                     ……………………………………4分

．              …………………………5分

（Ⅱ）若，则，即，；     ………………7分

若，即时，要使，则，解得，9分

综上可得． ………………………………10分

18. （12分）【解】Ⅰ根据题意，函数，且，．

则，                             ……………………………………2分

解可得，，（4分）          则；  ……………………5分

Ⅱ设，

则，          ………………7分

又由，

则，，………………………………9分

则，即          …………………………11分

则函数在区间上单调递增．       ………………………………12分

19.（12分）【解】（1）当 且 时由 得   …3分

即函数 定义域为  …………………………………………4分

（2）当即 时，令  

要使 在上是减函数，则函数为在 上为减函数    …5分

即并且解得     ……………………………………7分

当即 时，令

要使 在上是减函数，则函数为在 上为增函数 ……8分

即并且解得       ……………………………………10分

综上所述，所求实数的取值范围为  …………………………………………12分

20. （12分）【解】（Ⅰ）函数  的定义域为 ……………………  1分

∵ 为偶函数，

∴ 对恒成立，      ………………………………… 2分

即 对 恒成立，

∴.             ……………………………………………………………5分

（Ⅰ）由得，即，，

令，      …………………………………………………………………6分

原问题等价于对恒成立，

亦即恒成立，        ………………………………………… 7分

令，，

∵  在 上单调递减，在  上单调递增，

又∵

∴   当  时，()有最大值           …………………………………10分

∴，                  …………………………………………………………11分

∴实数的取值范围是         . …………………………………………………12分

21.( 12分) [解]　(Ⅰ)因为x∈[－1,1]，所以x∈.            . ……………………1分

设x＝t，t∈，则g(x)＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2         …….……2分

当a<时，h(a)＝φ＝－；      ……………………………………… 3分

当≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a2；      ……………………………………… 4分

当a>3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.      …… ……………………………………5分

所以h(a)＝      ……………………………………………6分

(Ⅱ)不存在实数 满足试题条件。证明如下：   …………………………………7分

因为m>n>3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a    …………………………………8分

因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h(a)为减函数，

所以，             …………………………………………………10分

两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，

因为m>n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“m>n>3”矛盾，    ……………11分

故满足条件的实数m，n不存在．………………………………………………… 12分

22.( 12分) 【解】（Ⅰ）依题意得

解得 ，所以调整后的技术人员的人数最多75人  …… ………………5分

（Ⅱ）由技术人员年人均投入不减少有

① .  …………   …………………………………6分

由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有

②    ……………………………………………7分  

两边同除以 得

整理得     …………………………………………………………8分

故有  

当且仅当时等号成立，所以 …10分

又因为当时 取得最大值7 所以   ………………11分

∴ 即存在这样的 满足条件，使得其范围为   …………12分