2022高考数学一轮复习专题15 情境问题的探究之立体几何部分（解析卷）

专题15  情境问题的探究之立体几何部分

一、题型选讲

题型一 、立体几何中的面积与体积

例1、【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是   ▲    cm.

【答案】

【解析】正六棱柱体积为，圆柱体积为，

所求几何体体积为.故答案为：

本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.

例2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O­—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.

【答案】118.8

【解析】由题意得，，

∵四棱锥O−EFGH的高为3cm， ∴．

又长方体的体积为，

所以该模型体积为，其质量为．

本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.

例3、（2020届山东省德州市高三上期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.

【答案】

【解析】四边形是正方形，，即，且，，

所以，的外接圆半径为，

设鳖臑的外接球的半径，则，解得.

平面，，可得，.

正方形的外接圆直径为，，

平面，所以，阳马的外接球半径，

因此，阳马的外接球的表面积为.

故答案为：.

题型二、立体几何中的边长与角等基本量的研究

例4、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

A．  B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，设，则，

由题意得，即，化简得，

解得（负值舍去）.故选C．

例5、【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为

A．20°  B．40°

C．50°  D．90°

【答案】B

【解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得..

由于，所以，

由于，

所以，也即晷针与点处的水平面所成角为.

故选：B.

本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.

例6、（2020•茂名二模）在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图．圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用．山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示．以该木塔底层的边AB作方形，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等．以塔底座的边作方形，作方圆图，会发现方圆的切点D正好位于塔身和塔顶的分界．经测量发现，木塔底层的边AB不少于47.5米，塔顶C到点D的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（　　）（参考数据：≈1.414）

A．66.1米 B．67.3米 C．68.5米 D．69.0米

【答案】B

【解析】设该木塔的高度为h，则由图可知，h＝≥47.5×1.414＝67.165（米）．

同时，

∴h＝≈67.9（米）．

即木塔的高度h约在67.165米至67.9米之间，

结合选项，可得B．

故选：B．

二、达标训练

1、（2021年启东中学11月份联考）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为  ▲  ．

【答案】9π

【解析】将补成长方体，则球的直径为长方体的对角线

2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（     ）

A．            B．              C．             D．

【答案】B

【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，

所以，即的近似值为，故选B.

3、（2020•庐阳区校级模拟）中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马，鳖臑，堑堵三种基本立体图形，其中四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA＝BC＝，PC＝，则此鳖臑的体积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】．A

【解析】：三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，

∵PA＝BC＝，PC＝，∴AC＝＝，AB＝＝，

∴此鳖臑的体积为：

VP﹣ABC＝＝

＝＝．

故选：A．

4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

【答案】26，

【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．

如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与的延长线交于点，延长交正方体的棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，

，

，

即该半正多面体的棱长为．

本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．

5、(2018苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．

【答案】 30π

【解析】　 设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上．

球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R＝＝，得4R2＝30.从而S球面＝4πR2＝30π.