2022高考数学一轮复习专题41 概率统计与函数、不等式的综合(原卷)
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专题41 概率统计与函数、不等式的综合
一、题型选讲
题型一 、概率与函数的交汇
例1、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)设,随机变量的分布列是:
0 | 1 | ||
则当在内增大时( )
A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
例2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
例3、(2020届山东省日照市高三上期末联考)某公司准备投产一种新产品,经测算,已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本(万元),依据产品尺寸,产品的品质可能出现优、中、差三种情况,随机抽取了1000件产品测量尺寸,尺寸分别在,,,,,,(单位:)中,经统计得到的频率分布直方图如图所示.
产品的品质情况和相应的价格(元/件)与年产量之间的函数关系如下表所示.
产品品质 | 立品尺寸的范围 | 价格与产量的函数关系式 |
优 | ||
中 | ||
差 |
以频率作为概率解决如下问题:
(1)求实数的值;
(2)当产量确定时,设不同品质的产品价格为随机变量,求随机变量的分布列;
(3)估计当年产量为何值时,该公司年利润最大,并求出最大值.
例4、(广东省2021届高三上学期综合能力测试) 随着智能手机的普及,手机计步软件迅速流行开来,这类软件能自动记载用户每日健步的步数.某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况,从正常上班的员工中随机抽取了2000人,统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数(单位:千步,假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间).将样本数据分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九组,绘制成如图所示的频率分布直方图,并用样本的频率分布估计总体的频率分布.
(1)求图中a的值;
(2)设该企业正常上班的员工健步步数(单位:千步)
近似服从正态分布,其中近似为样本的平均
数(各区间数据用中点值近似计算),取,若该
企业恰有10万人正常上班的员工,试估计这些员工中日
健步步数Z位于区间[4.88,15.8]范围内的人数;
(3)现从该企业员工中随机抽取20人,其中有k名员工
的日健步步数在13千步至15千步内的概率为,
其中,当最大时,求k的值,
参考数据:若随机变量服从正态分布,则,
,.
题型二、概率与数列的交汇
例5、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,,,其中,,.假设,.
(i)证明:为等比数列;
(ii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性.
例6、(华南师大附中2021届高三综合测试)足球运动被誉为“世界第一运动”.深受青少年的喜爱.(I)为推广足球运动,某学校成立了足球社团,由于报名人数较多,需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取,规则如下:踢点球一次,若踢进,则被录取;若没踢进,则继续踢,直到踢进为止,但是每人最多踢点球3次.
下表是某同学6次的训练数据,以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率,为加入足球社团,该同学进行了“点球测试”,每次点球是否踢进相互独立,他在测试中所踢的点球次数记为,求的分布列及数学期望;
点球数 | 20 | 30 | 30 | 25 | 20 | 25 |
进球数 | 10 | 17 | 20 | 16 | 13 | 14 |
(II)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练,从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到,记开始传球的人为第1次触球者,第n次触球者是甲的概率记为Pn,即P1 =1.
(i)求P2,P3(直接写出结果即可);
(ii)证明:数列为等比数列,并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大.
二、达标训练
1、(2020·浙江温州中学高三3月月考)随机变量的可能值有1,2,3,且,,则的最大值为( )
A. B. C. D.1
2、(2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考)随机变量的分布列如下:
-1 | 0 | 1 | |
其中,,成等差数列,则的最大值为( )
A. B. C. D.
3、(2020届浙江省杭州市高三3月模拟)已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x,P(ξ=1) =1-x,若则( )
A.E(ξ)随着x的增大而增大,D (ξ)随着x的增大而增大
B.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而增大
C.E(ξ)随着x的增大而减小,D(ξ)随着x的增大而减小
D.E(ξ)随着x的增大而增大,D(ξ)随着x的增大而减小
4、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”,吸引了大批投资商的目光,一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.
项目一:天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式,是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院,每个天坑院投资0.2百万元,假设每个天坑院是否盈利是相互独立的,据市场调研,到2020年底每个天坑院盈利的概率为,若盈利则盈利投资额的40%,否则盈利额为0.
项目二:天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研,投资到该项目上,到2020年底可能盈利投资额的50%,也可能亏损投资额的30%,且这两种情况发生的概率分别为p和.
(1)若投资项目一,记为盈利的天坑院的个数,求(用p表示);
(2)若投资项目二,记投资项目二的盈利为百万元,求(用p表示);
(3)在(1)(2)两个条件下,针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个项目,并说明理由.
5、(2020届山东省潍坊市高三上期中)如图,直角坐标系中,圆的方程为,,,为圆上三个定点,某同学从点开始,用掷骰子的方法移动棋子.规定:①每掷一次骰子,把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点;②棋子移动的方向由掷骰子决定,若掷出骰子的点数为偶数,则按图中箭头方向移动;若掷出骰子的点数为奇数,则按图中箭头相反的方向移动.设掷骰子次时,棋子移动到,,处的概率分别为,,.例如:掷骰子一次时,棋子移动到,,处的概率分别为,,.
(1)分别掷骰子二次,三次时,求棋子分别移动到,,处的概率;
(2)掷骰子次时,若以轴非负半轴为始边,以射线,,为终边的角的余弦值记为随机变量,求的分布列和数学期望;
(3)记,,,其中.证明:数列是等比数列,并求.
6、某超市计划按月订购一种酸奶,每天的进货量相同,进货成本为每瓶4元,售价为每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高 |
|
|
|
|
|
|
气温 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1) 求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
7、甲、乙两人进行围棋比赛,共比赛2n(n∈N*)局,根据以往比赛胜负的情况知,每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n).
(1)求P(2)与P(3)的值;
(2)试比较P(n)与P(n+1)的大小,并证明你的结论.
2024年新高考数学二轮专题复习 概率与统计的综合应用(原卷版+解析版): 这是一份2024年新高考数学二轮专题复习 概率与统计的综合应用(原卷版+解析版),共180页。
2024年高考数学第一轮复习专题33 概率与统计综合问题(原卷版): 这是一份2024年高考数学第一轮复习专题33 概率与统计综合问题(原卷版),共15页。
高中数学高考专题09 概率与统计(原卷版): 这是一份高中数学高考专题09 概率与统计(原卷版),共8页。