2022年高考三轮复习之回归基础练第23练　排列与组合、二项式定理

第23练　排列与组合、二项式定理

[考情分析]　1.高考中主要考查两个计数原理、排列与组合的应用，难度中等偏下.2.二项式定理以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，难度中等．

考点一　两个计数原理

要点重组　

1．在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

2．对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

1．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为(　　)

A．240  B．204  C．729  D．920

答案　A

解析　分8类，

当中间数为2时，有1×2＝2(个)；

当中间数为3时，有2×3＝6(个)；

当中间数为4时，有3×4＝12(个)；

当中间数为5时，有4×5＝20(个)；

当中间数为6时，有5×6＝30(个)；

当中间数为7时，有6×7＝42(个)；

当中间数为8时，有7×8＝56(个)；

当中间数为9时，有8×9＝72(个)；

故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．

2.将1,2,3，…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有(　　)

A．6种  B．12种  C．18种  D．24种

答案　A

解析　分为三个步骤：

第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法．

第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法．

第三步，数字6如果和数字5相邻，则7,8只有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，则7,8有2种方法，故数字6,7,8共有3种方法．

根据分步乘法计数原理，有1×2×3＝6(种)填写空格的方法．

3．(2020·河北六校联考)甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　　)

A．64  B．80  C．96  D．120

答案　B

解析　5日至9日，分别为5,6,7,8,9，有3天奇数日，2天偶数日，第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有22＝4(种)；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3×2×2＝12(种)，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23＝8(种)，共计12＋8＝20(种)，根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为4×20＝80，故选B.

4．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)

A．60  B．48  C．36  D．24

答案　B

解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.

考点二　排列、组合

要点重组　

1．求解排列、组合问题的关注点

排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．

2．无限制条件的排列、组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．

对于有限制条件的排列、组合问题，通常从以下三个途径考虑：

(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

(3)先不考虑限制条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

5．(2020·遂宁模拟)2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志．阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就．装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐，其中空中梯队编有12个梯队，在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这6个梯队中，某学校为宣传的需要，要求甲同学需从中选3个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个，则不同的选法种数为(　　)

A．12  B．16  C．18  D．20

答案　B

解析　从6个梯队中任选3个的选法有C＝20(种)，若没有舰载机梯队、歼击机梯队的选法有C＝4(种)，则舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个的选法有20－4＝16(种)．

6．(2020·长沙模拟)“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种．

答案　432

解析　若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有2A＝240(种)；

“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有2CA＝192(种)，

因此共有240＋192＝432(种)．

7．(2020·全国Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．

答案　36

解析　将4名同学分成人数为2,1,1的3组，有C＝6(种)分法，再将3组同学分到3个小区，共有A＝6(种)分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36(种)．

8．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为______．

答案　10

解析　设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排好，再将这3辆汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A种，恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有AA种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A＝AA，解得n＝10.

考点三　二项式定理

要点重组　

1．二项式定理的常用结论

(1)(a－b)n＝Can－Can－1b＋…＋(－1)kCan－kbk＋…＋(－1)nCbn.

(2)(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn.

2．求解二项式有关问题时，一定要注意“二项式系数”与“项的系数”之间的区别与联系．

3．求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，则最大的系数Ak满足

9．(2020·全国Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)

A．5  B．10  C．15  D．20

答案　C

解析　方法一　∵(x＋y)5

＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，

∴x3y3的系数为10＋5＝15.

方法二　当x＋中取x时，x3y3的系数为C，

当x＋中取时，x3y3的系数为C，

∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15.

10．(多选)(2020·甘肃诊断)若n的展开式中二项式系数和为256，则二项展开式中，下列结论正确的是(　　)

A．各项系数和为256

B．含x－4的项为56

C．二项式系数最大的项为第5项

D．展开式中有3项有理项

答案　ACD

解析　依题意2n＝256，∴n＝8，其系数和为2n＝256，故A正确；

∴Tk＋1＝C x－k＝C，

令＝－4⇒k＝5.

∴含x－4的项为第6项，即T6＝Cx－4＝56x－4，故B错误；

∵n＝8，∴二项式系数最大的项为第5项，故C正确；

令∈Z且k＝0,1,2，…，8，解得k＝2,5,8，

∴有理项有3项，故D正确．

11．(2020·全国Ⅲ)6的展开式中常数项是________．(用数字作答)

答案　240

解析　6的展开式的通项为

Tk＋1＝C(x2)6－kk＝C2kx12－3k，

令12－3k＝0，解得k＝4，

所以常数项为C24＝240.

12．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

答案　3

解析　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.

1．某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为(　　)

A．60   B．40

C．120   D．240

答案　A

解析　由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有＝3(种)不同的分法．

再将两组安排在其中的两个部门，有A＝20(种)不同的安排方案，

所以共有不同的安排方案种数为3×20＝60.

2．(2020·山西八校联考)已知n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)

A．29  B．210  C．211  D．212

答案　A

解析　由题意得C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29，故选A.

3．(2020·汕头模拟)2020年3月31日，某地援外地医护人员A，B，C，D，E，F6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为(　　)

A．36   B．48

C．56   D．72

答案　D

解析　因为让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，分2步进行分析：

①领导和队长站在两端，有A＝2(种)情况，

②中间5人分2种情况讨论：

若BC相邻且与D相邻，有AA＝12(种)安排方法，

若BC相邻且不与D相邻，有AAA＝24(种)安排方法，

则中间5人有12＋24＝36(种)安排方法，

则有2×36＝72(种)不同的安排方法．

故选D.

4．(多选)已知(2x－a)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9且展开式中各项系数和为39.则下列结论正确的是(　　)

A．a＝1

B．a0＝1

C．a2＝36

D．a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝

答案　ABD

解析　令x－1＝t，∴x＝t＋1，

原展开式为(2t＋2－a)9＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a9t9，

令t＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4－a)9＝39，

∴a＝1，故A正确；

∴(2t＋1)9＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a9t9，

令t＝0，得a0＝1，故B正确；

(2t＋1)9的展开式中含t2的项为C(2t)2·17＝144t2，

∴a2＝144，故C错误；

令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＋a9＝39，①

令t＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝－1，②

得，a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝，故D正确．

5．已知(ax－1)2(x＋2)5的展开式中含x3项的系数为－40，则展开式中所有项的系数和为________．

答案　0

解析　(x＋2)5展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k2k，所以(ax－1)2(x＋2)5的展开式中含x3项的系数为a2C×24－2aC×23＋C×22＝40(2a2－4a＋1)＝－40，解得a＝1.

所以(ax－1)2(x＋2)5＝(x－1)2(x＋2)5，令x＝1，得展开式中所有项的系数和为0.

6．如图，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c，例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有________种．

答案　32

解析　根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间[7,14]中的8个整数，故公差d的范围是区间[－3,3]中的整数．①当公差d＝0时，有C＝8(种)；②当公差d＝±1时，b不取7和14，有2×C＝12(种)；③当公差d＝±2时，b不取7,8,13,14，有2×C＝8(种)；④当公差d＝±3时 ，b只能取10或11，有2×C＝4(种)．

综上，共有8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数法．