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高中物理第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试巩固练习
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这是一份高中物理第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试巩固练习，共8页。试卷主要包含了 匀变速直线运动的解题方法，追及相遇问题，匀变速直线运动中的图像问题等内容，欢迎下载使用。
一、 匀变速直线运动的解题方法
【典例1】物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面,到达斜面最高点C时速度恰好为零,如图所示。已知物体运动到斜面长度处的B点,所用时间为t,求物体从B滑到C所用的时间。
【解析】方法1 逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面,相当于向下匀加速滑下斜面。故xBC=,xAC=,又xBC=,解得tBC=t。
方法2 比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动,在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
现有xBC∶xBA=∶=1∶3。
通过xAB的时间为t,
故通过xBC的时间tBC=t。
方法3 中间时刻速度法
利用教材中的推论:中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度,则===
又=2axAC,=2axBC,xBC=
由以上各式解得vB=
可以看出vB正好等于AC段的平均速度,因此B点是中间时刻的位置,因此有tBC=t。
方法4 图像法
利用相似三角形面积之比等于对应边平方比的方法,作出v-t图像,如图所示,=
且S△AOC=4S△BDC,OD=t,OC=t+tBC
所以=,得tBC=t。
答案:t
1.分析思路:
(1)养成画物体运动示意图或v-t图像的习惯,特别是较复杂的运动,画出运动示意图或v-t图像可使运动过程直观,物理过程清晰,便于分析研究。
(2)要注意分析研究对象的运动过程,搞清楚整个运动过程按运动性质可分为哪几个阶段,每个阶段遵循什么规律,各个阶段又存在什么联系。
2.分析方法:
(1)公式法。
匀变速直线运动的常用公式有:v=v0+at,x=v0t+at2,v2-=2ax。使用时应注意它们都是矢量方程式,一般以v0方向为正方向,其余物理量与正方向相同的为正,与正方向相反的为负。
(2)平均速度法。
①=,此式为平均速度的定义式,适用于任何运动。
②==(v0+v),只适用于匀变速直线运动。
(3)比例法。
对于初速度为零的匀加速直线运动或末速度为零的匀减速直线运动,可利用初速度为零的匀加速直线运动的推论,用比例法解题。
(4)逆向思维法。
把运动过程的“末态”看成“初态”的反向研究问题的方法。例如,末速度为零的匀减速直线运动可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。
(5)图像法。
应用v-t图像可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决,尤其是用图像定性分析,可避免繁杂的计算,快速求解。
【素养训练】
如图为国内某汽车品牌率先推出AEBS的系统,通过雷达和摄像头判断车距,当车距小于安全距离自动启动制动系统,并通过车内警报提醒驾驶员保持清醒。某次实验室测试中汽车以10 m/s的速度匀速前进,通过传感器和激光雷达检测到正前方22 m处有静止障碍物,系统立即采取制动措施,使之做加速度大小为1 m/s2的匀减速直线运动,并向驾驶员发出警告,驾驶员2 s之后清醒,马上采取紧急制动,使汽车做匀减速直线运动,最终该汽车恰好没有与障碍物发生碰撞。求:
(1)驾驶员采取紧急制动之前,汽车行进距离的大小。
(2)驾驶员采取紧急制动时汽车的加速度大小。
(3)汽车在上述22 m的运动,全过程中的平均速度的大小。
【解析】(1)根据公式x=v0t+a1t2可知,汽车行驶的距离
x=10×2 m+×(-1)×22 m=18 m
(2)汽车采取紧急制动后运动的距离为22 m-18 m=4 m
驾驶员刚采取紧急制动时的速度
v=v0+a1t=10 m/s+(-1)·2 m/s=8 m/s
根据v′2-v2=2a2x′
则02 m-82 m=2a2·4
即a2=-8 m/s2,所以加速度大小为8 m/s2
(3)驾驶员清醒后的运动时间v′=v0+a2t′,得到t′=1 s
总时间t总=3 s
平均速度== m/s。
答案:(1)18 m (2)8 m/s2 (3) m/s
二、追及相遇问题
【典例2】一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3 m/s2 的加速度开始加速行驶,恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求:
(1)汽车从路口启动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?
(2)汽车多长时间后能追上自行车?追上时汽车的速度是多大?
【解析】(1)方法1 基本规律法
汽车与自行车的速度相等时两车相距最远,设此时经过的时间为t1,汽车的速度为v1,两车间的距离为Δx,则有
v1=at1=v自
所以t1==2 s,Δx=v自t1-a=6 m
方法2 相对运动法
以自行车为参考系,则从开始到相距最远的这段时间内,汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0=v汽初-v自=0-6 m/s=-6 m/s
末速度vt=v汽车-v自=0
加速度a′=a-a自=3 m/s2
所以最大距离x==-6 m
负号表示汽车在后。
经历的时间t==2 s
方法3 极值法或数学分析法
设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远,则
Δx=x1-x2=v自t1-a
代入已知数据得Δx=6t1-
由二次函数求极值的条件知t1=2 s时,Δx最大,所以Δx=6 m
方法4 图像法
自行车和汽车运动的v-t图像如图所示,由图可以看出,在相遇前,t1时刻两车速度相等,两车相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积,t1== s=2 s,Δx== m=6 m
(2)方法1 当两车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,汽车的瞬时速度为v2,则有v自t2=a
解得t2== s=4 s
v2=at2=3×4 m/s=12 m/s
方法2 由图可以看出,在t1时刻之后,由图线v自、v汽和t=t2构成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等,此时汽车与自行车的位移相等,即汽车与自行车相遇。由几何关系知t2=2t1=4 s,v2=at2=3×4 m/s=12 m/s。
答案:(1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s
1.追及和相遇问题的实质:研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
2.解追及和相遇问题的思路:
(1)根据对两物体运动过程的分析,画出两物体运动的情景图。
(2)根据两物体的运动性质,分别列出两个物体的位移方程,注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程,这是关键。
(4)联立方程求解,并对结果进行简单分析。
3.分析追及和相遇问题时要注意:
(1)理清两个关系、一个条件。时间关系:tA=tB±t0;位移关系:sA=sB±s0。速度条件:两者速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。
(2)若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已停止运动。
(3)解决问题时需要注意二者是否同时、同地出发。
(4)仔细审题,注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰巧”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。
4.解决追及和相遇问题的方法:
(1)物理分析法:通过对物理情景和物理过程的分析,找到临界状态和临界条件,然后列出方程求解。
(2)数学方法:在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方,可列出位移方程,利用二次函数求极值的方法求解,有时也可借助v-t图像进行分析。
【素养训练】
已知A、B两列火车,在同一轨道上同向行驶,A车在前,其速度v1=10 m/s,B车在后,速度v2=30 m/s,B车在距A车x0=75 m时才发现前方有A车,这时B车立即刹车,但B车要经过x=180 m才能停下来。
(1)B车刹车时A车仍按原速率行驶,两车是否会相撞?
(2)若相撞,求B车从开始刹车到两车相撞用多长时间?若不相撞,求两车的最小距离。
【解析】(1)设B车加速度大小为aB,刹车至停下来的过程中,由=2aBx
解得:aB=2.5 m/s2
B车在开始刹车后t时刻的速度为vB=v2-aBt
B车的位移xB=v2t-aBt2
A车的位移xA=v1t
设t时刻两车速度相等,即vB=v1
解得:t=8 s
将t=8 s代入得xB=160 m,xA=80 m
因为xB>xA+x0=155 m
故两车会相撞。
(2)设B车从开始刹车到两车相撞所用时间为t,则满足
xB=xA+x0
代入数据解得:t1=6 s,t2=10 s(不符合题意)
故B车从开始刹车到两车相撞用时6 s。
答案:见解析
三、匀变速直线运动中的图像问题
【典例3】(多选)有四个运动的物体A、B、C、D,物体A、B运动的x-t图像如图甲所示,物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图像如图乙所示。在0到4 s这段时间内,根据图像做出的以下判断正确的是( )
A.物体A和B均做匀速直线运动,且A的速度比B大
B.物体C和D均做匀变速直线运动,且C的加速度比D大
C.A和B从不同位置反向运动,C和D从同一位置同向运动
D.A和B在t=3 s时相遇且位移不同,C和D也在t=3 s时相遇且速度相等
【解析】选A、B、C。由甲图看出:物体A和B位移图像都是倾斜的直线,斜率都不变,速度都不变,说明两物体都做匀速直线运动,A图线的斜率大于B图线的斜率,A的速度比B大,故A正确;速度—时间图像的斜率表示加速度,由乙图可知,C和D都做匀变速直线运动,C的斜率大于D的斜率,所以C的加速度比D大,故B正确;由甲图看出:A的斜率为正,则沿正方向运动,B的斜率为负,沿负方向运动,方向相反,即A和B从不同位置反向运动,但是C和D的速度都为正,C和D运动方向相同,即C和D从同一位置同向运动,故C正确;由甲图看出:A和B在t=3 s时处于同一位置,相遇而且位移不相同,而从乙图可以看出C和D在t=3 s时速度相同,但是位移不等,没有相遇,故D错误。
运动学图像的“五看”
【素养训练】
1.(多选)(2018·全国卷Ⅲ) 甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A.在t1时刻两车速度相等
B.从0到t1时间内,两车走过的路程相等
C.从t1到t2时间内,两车走过的路程相等
D.在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等
【解析】选C、D。由位移—时间图像的意义可知t1时刻两车在x1位置,图线的斜率不同,速度不等,A错;由于甲车起始位置不在原点,从0到t1时间内,两车走过的路程不等,B错;从t1到t2时间内,两车都从x1位置运动到x2位置,因此走过的路程相等,C对;从t1到t2时间内甲车图线的斜率先小于后大于乙车,因此在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等,D对。
2.下列所给的图像中能反映做直线运动的物体不会回到初始位置的是( )
【解析】选B。A为位移—时间图像,图线与t轴相交的两个时刻即为相同的初始位置,说明物体回到了初始位置;B、C、D选项中的图像均为速度—时间图像,要回到初始位置,则t轴上方的图线与坐标轴围成的面积和t轴下方的图线与坐标轴围成的面积相等,显然B选项中只有t轴上方的面积,故B选项表示物体一直朝一个方向运动,不会回到初始位置,而C、D选项在t=2 s时刻,物体回到了初始位置,故选B。x-t图像
v-t图像
轴
纵轴为位移x
纵轴为速度v
线
倾斜直线表示
匀速直线运动
倾斜直线表示
匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线与时间轴围成
的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
一、 匀变速直线运动的解题方法
【典例1】物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面,到达斜面最高点C时速度恰好为零,如图所示。已知物体运动到斜面长度处的B点,所用时间为t,求物体从B滑到C所用的时间。
【解析】方法1 逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面,相当于向下匀加速滑下斜面。故xBC=,xAC=,又xBC=,解得tBC=t。
方法2 比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动,在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
现有xBC∶xBA=∶=1∶3。
通过xAB的时间为t,
故通过xBC的时间tBC=t。
方法3 中间时刻速度法
利用教材中的推论:中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度,则===
又=2axAC,=2axBC,xBC=
由以上各式解得vB=
可以看出vB正好等于AC段的平均速度,因此B点是中间时刻的位置,因此有tBC=t。
方法4 图像法
利用相似三角形面积之比等于对应边平方比的方法,作出v-t图像,如图所示,=
且S△AOC=4S△BDC,OD=t,OC=t+tBC
所以=,得tBC=t。
答案:t
1.分析思路:
(1)养成画物体运动示意图或v-t图像的习惯,特别是较复杂的运动,画出运动示意图或v-t图像可使运动过程直观,物理过程清晰,便于分析研究。
(2)要注意分析研究对象的运动过程,搞清楚整个运动过程按运动性质可分为哪几个阶段,每个阶段遵循什么规律,各个阶段又存在什么联系。
2.分析方法:
(1)公式法。
匀变速直线运动的常用公式有:v=v0+at,x=v0t+at2,v2-=2ax。使用时应注意它们都是矢量方程式,一般以v0方向为正方向,其余物理量与正方向相同的为正,与正方向相反的为负。
(2)平均速度法。
①=,此式为平均速度的定义式,适用于任何运动。
②==(v0+v),只适用于匀变速直线运动。
(3)比例法。
对于初速度为零的匀加速直线运动或末速度为零的匀减速直线运动,可利用初速度为零的匀加速直线运动的推论,用比例法解题。
(4)逆向思维法。
把运动过程的“末态”看成“初态”的反向研究问题的方法。例如,末速度为零的匀减速直线运动可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。
(5)图像法。
应用v-t图像可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决,尤其是用图像定性分析,可避免繁杂的计算,快速求解。
【素养训练】
如图为国内某汽车品牌率先推出AEBS的系统,通过雷达和摄像头判断车距,当车距小于安全距离自动启动制动系统,并通过车内警报提醒驾驶员保持清醒。某次实验室测试中汽车以10 m/s的速度匀速前进,通过传感器和激光雷达检测到正前方22 m处有静止障碍物,系统立即采取制动措施,使之做加速度大小为1 m/s2的匀减速直线运动,并向驾驶员发出警告,驾驶员2 s之后清醒,马上采取紧急制动,使汽车做匀减速直线运动,最终该汽车恰好没有与障碍物发生碰撞。求:
(1)驾驶员采取紧急制动之前,汽车行进距离的大小。
(2)驾驶员采取紧急制动时汽车的加速度大小。
(3)汽车在上述22 m的运动,全过程中的平均速度的大小。
【解析】(1)根据公式x=v0t+a1t2可知,汽车行驶的距离
x=10×2 m+×(-1)×22 m=18 m
(2)汽车采取紧急制动后运动的距离为22 m-18 m=4 m
驾驶员刚采取紧急制动时的速度
v=v0+a1t=10 m/s+(-1)·2 m/s=8 m/s
根据v′2-v2=2a2x′
则02 m-82 m=2a2·4
即a2=-8 m/s2,所以加速度大小为8 m/s2
(3)驾驶员清醒后的运动时间v′=v0+a2t′,得到t′=1 s
总时间t总=3 s
平均速度== m/s。
答案:(1)18 m (2)8 m/s2 (3) m/s
二、追及相遇问题
【典例2】一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3 m/s2 的加速度开始加速行驶,恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求:
(1)汽车从路口启动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?
(2)汽车多长时间后能追上自行车?追上时汽车的速度是多大?
【解析】(1)方法1 基本规律法
汽车与自行车的速度相等时两车相距最远,设此时经过的时间为t1,汽车的速度为v1,两车间的距离为Δx,则有
v1=at1=v自
所以t1==2 s,Δx=v自t1-a=6 m
方法2 相对运动法
以自行车为参考系,则从开始到相距最远的这段时间内,汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0=v汽初-v自=0-6 m/s=-6 m/s
末速度vt=v汽车-v自=0
加速度a′=a-a自=3 m/s2
所以最大距离x==-6 m
负号表示汽车在后。
经历的时间t==2 s
方法3 极值法或数学分析法
设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远,则
Δx=x1-x2=v自t1-a
代入已知数据得Δx=6t1-
由二次函数求极值的条件知t1=2 s时,Δx最大,所以Δx=6 m
方法4 图像法
自行车和汽车运动的v-t图像如图所示,由图可以看出,在相遇前,t1时刻两车速度相等,两车相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积,t1== s=2 s,Δx== m=6 m
(2)方法1 当两车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,汽车的瞬时速度为v2,则有v自t2=a
解得t2== s=4 s
v2=at2=3×4 m/s=12 m/s
方法2 由图可以看出,在t1时刻之后,由图线v自、v汽和t=t2构成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等,此时汽车与自行车的位移相等,即汽车与自行车相遇。由几何关系知t2=2t1=4 s,v2=at2=3×4 m/s=12 m/s。
答案:(1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s
1.追及和相遇问题的实质:研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
2.解追及和相遇问题的思路:
(1)根据对两物体运动过程的分析,画出两物体运动的情景图。
(2)根据两物体的运动性质,分别列出两个物体的位移方程,注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程,这是关键。
(4)联立方程求解,并对结果进行简单分析。
3.分析追及和相遇问题时要注意:
(1)理清两个关系、一个条件。时间关系:tA=tB±t0;位移关系:sA=sB±s0。速度条件:两者速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。
(2)若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已停止运动。
(3)解决问题时需要注意二者是否同时、同地出发。
(4)仔细审题,注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰巧”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。
4.解决追及和相遇问题的方法:
(1)物理分析法:通过对物理情景和物理过程的分析,找到临界状态和临界条件,然后列出方程求解。
(2)数学方法:在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方,可列出位移方程,利用二次函数求极值的方法求解,有时也可借助v-t图像进行分析。
【素养训练】
已知A、B两列火车,在同一轨道上同向行驶,A车在前,其速度v1=10 m/s,B车在后,速度v2=30 m/s,B车在距A车x0=75 m时才发现前方有A车,这时B车立即刹车,但B车要经过x=180 m才能停下来。
(1)B车刹车时A车仍按原速率行驶,两车是否会相撞?
(2)若相撞,求B车从开始刹车到两车相撞用多长时间?若不相撞,求两车的最小距离。
【解析】(1)设B车加速度大小为aB,刹车至停下来的过程中,由=2aBx
解得:aB=2.5 m/s2
B车在开始刹车后t时刻的速度为vB=v2-aBt
B车的位移xB=v2t-aBt2
A车的位移xA=v1t
设t时刻两车速度相等,即vB=v1
解得:t=8 s
将t=8 s代入得xB=160 m,xA=80 m
因为xB>xA+x0=155 m
故两车会相撞。
(2)设B车从开始刹车到两车相撞所用时间为t,则满足
xB=xA+x0
代入数据解得:t1=6 s,t2=10 s(不符合题意)
故B车从开始刹车到两车相撞用时6 s。
答案:见解析
三、匀变速直线运动中的图像问题
【典例3】(多选)有四个运动的物体A、B、C、D,物体A、B运动的x-t图像如图甲所示,物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v-t图像如图乙所示。在0到4 s这段时间内,根据图像做出的以下判断正确的是( )
A.物体A和B均做匀速直线运动,且A的速度比B大
B.物体C和D均做匀变速直线运动,且C的加速度比D大
C.A和B从不同位置反向运动,C和D从同一位置同向运动
D.A和B在t=3 s时相遇且位移不同,C和D也在t=3 s时相遇且速度相等
【解析】选A、B、C。由甲图看出:物体A和B位移图像都是倾斜的直线,斜率都不变,速度都不变,说明两物体都做匀速直线运动,A图线的斜率大于B图线的斜率,A的速度比B大,故A正确;速度—时间图像的斜率表示加速度,由乙图可知,C和D都做匀变速直线运动,C的斜率大于D的斜率,所以C的加速度比D大,故B正确;由甲图看出:A的斜率为正,则沿正方向运动,B的斜率为负,沿负方向运动,方向相反,即A和B从不同位置反向运动,但是C和D的速度都为正,C和D运动方向相同,即C和D从同一位置同向运动,故C正确;由甲图看出:A和B在t=3 s时处于同一位置,相遇而且位移不相同,而从乙图可以看出C和D在t=3 s时速度相同,但是位移不等,没有相遇,故D错误。
运动学图像的“五看”
【素养训练】
1.(多选)(2018·全国卷Ⅲ) 甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是( )
A.在t1时刻两车速度相等
B.从0到t1时间内,两车走过的路程相等
C.从t1到t2时间内,两车走过的路程相等
D.在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等
【解析】选C、D。由位移—时间图像的意义可知t1时刻两车在x1位置,图线的斜率不同,速度不等,A错;由于甲车起始位置不在原点,从0到t1时间内,两车走过的路程不等,B错;从t1到t2时间内,两车都从x1位置运动到x2位置,因此走过的路程相等,C对;从t1到t2时间内甲车图线的斜率先小于后大于乙车,因此在t1到t2时间内的某时刻,两车速度相等,D对。
2.下列所给的图像中能反映做直线运动的物体不会回到初始位置的是( )
【解析】选B。A为位移—时间图像,图线与t轴相交的两个时刻即为相同的初始位置,说明物体回到了初始位置;B、C、D选项中的图像均为速度—时间图像,要回到初始位置,则t轴上方的图线与坐标轴围成的面积和t轴下方的图线与坐标轴围成的面积相等,显然B选项中只有t轴上方的面积,故B选项表示物体一直朝一个方向运动,不会回到初始位置,而C、D选项在t=2 s时刻,物体回到了初始位置,故选B。x-t图像
v-t图像
轴
纵轴为位移x
纵轴为速度v
线
倾斜直线表示
匀速直线运动
倾斜直线表示
匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线与时间轴围成
的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
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