安徽省示范高中培优联盟2021-2022学年高二上学期冬季联赛数学含解析

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安徽省示范高中培优联盟2021年冬季联赛(高二)

数学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1至第3页，第II卷第4至第6页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷(选择题 共60分)

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.已知集合A＝{x|－2<x<－1}，B＝{－2，－1，0}，则(∁UA)∩B＝

A.{－2，－1，0，1}     B.{－1，0，1}     C.{－1，0}     D.{－2，－1，0}

2.设(1＋i)a＝1＋bi(i是虚数单位)，其中a，b是实数，则直线ax－by＋1＝0的斜率为

A.1     B.     C.     D.2

3.圆台体积公式为V＝πh(R2＋Rr＋r2)；古称圆台为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周五丈，上周四丈，高三丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长5丈，上底周长4丈，高3丈，则它的体积为

A.立方丈     B.立方丈     C.立方丈     D.立方丈

4.东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一。东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称。如图，从东到西的公路上有相距80(单位：m)的A、B两个观测点，在A点测得塔在北偏东60°的点D处，在B点测得塔在北偏西30°，塔顶C的仰角为45°，则塔的高度CD约为

A.40m     B.37m     C.35m     D.23m

5.已知α∈(，)，且12sin2α－5cosα＝9，则cos2α＝

A.     B.－     C.     D.

6.函数y＝(－π≤x≤π)的图象大致是

7.我国古代为了进行复杂的计算，曾经使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘。算筹有纵式和横式两种排列方式，0～9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现。如“”表示21，“”表示609。在“”、“”、“”、“”、“”按照一定顺序排列成的无重复数字的三位数中任取一个，取到奇数的概率是

A.     B.      C.      D.

8.已知P是椭圆和双曲线的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠F1PF2＝，则e12＋e22的最小值为

A.2     B.     C.4＋2     D.1＋

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)

9.某城市一家保险公司的保险产品有以下五种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险。各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对五个险种的参保客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图，以下四个说法中，正确的有

A.30－41周岁以上客户人数最多         B.18－29周岁客户参保总费用最少

C.丁险种不受客户青睐                  D.30周岁以上的客户约占参保客户的80％

10.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是

A.若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB

B.若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形

C.若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形

D.若△ABC是等边三角形，则

11.下列结论正确的是

A.已知点P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2上，则的最小值是1

B.已知直线kx－y－1＝0和以M(－3，1)，N(3，2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为－≤k≤1

C.已知点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，直线l的方程是ax＋by＝r2，则直线l与圆相离

D.若圆M：(x－4)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上恰有两点到点N(1，0)的距离为1，则r的取值范围是(4，6)

12.已知a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰Rt△ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，且AC＝1，等腰Rt△ABC以直角边AC为旋转轴旋转一周形成几何体W，则下列说法正确的是

A.几何体W的内切球半径为－1

B.几何体W的外接球半径为＋1

C.旋转过程中直线AB与a所成角的余弦值的最小值为

D.旋转过程中直线AB与a所成角的正弦值的最小值为

第II卷(非选择题 共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。并把答案填在答题卡的相应位置。)

13.已知f(x＋2)＝lnx－，则f(x)的单调递增区间为            。

14.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且在区间[1，2]上f(x)是增函数，若a＝sin，b＝sin，c＝sin，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为            。

15.设抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，且p>|MF|，则抛物线C的标准方程为            。

16.希罗平均数(Heronianmean)是两个非负实数的一种平均，设a，b是两个非负实数，则它们的希罗平均数H＝。在直角△ABC中，C＝，则sinA，sinB的希罗平均数的取值范围为            。

四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(10分)

已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，cosx)，x∈R，设函数f(x)＝m·n－。

(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；

(2)设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，若f(A)＝1，b＋c＝2，△ABC的面积为，求a的值。

18.(12分)

饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础。2021年5月13日下午，习近平总书记在河南省南阳市先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍。为了提高节约用水意识，培优联盟从参加冬季联赛的学生中随机选取100人的节约用水知识竞赛成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图。

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计此次参赛学生成绩的平均分(同一组数据用该组区间的中点值代表)；

(2)在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人的成绩全部不低于55分的概率。

19.(12分)

若函数f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)。

(1)求f(2x)的最小值及对应的x的值；

(2)当x取何值时，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1)。

20.(12分)

若对定义域内任意x，都有f(x＋a)>f(x)(a>0)，则称函数f(x)为“隔断”增函数，a称隔断距离。

(1)若f(x)＝x3－2x，x∈R是“隔断”增函数，求隔断距离a的取值范围；

(2)若f(x)＝，x∈(－1，＋∞)，其中k∈R，且为“隔断”增函数，隔断距离为2，求实数k的取值范围。

21.(12分)

如图，一个正△ABC'和一个平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB＝8，BD＝AD＝，AB，DE的中点分别为F，G。现沿直线AB将△ABC'翻折成△ABC，使二面角C－AB－D为120°。

(1)在线段CE上是否存在点H，使平面CDF∥平面AGH，若存在，指出点H位置，若不存在请说明理由面；

(2)求二面角C－DE－F的正弦值。

22.(12分)

已知椭圆C：的长轴长为4，离心率e＝。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知斜率为的直线l与椭圆C交于两个不同的点A，B，点P的坐标为(2，1)，设直线PA与PB的倾斜角分别为α，β，证明：tanα＋tanβ＝0。