高考数学(文数)一轮复习单元检测04《三角函数、解三角形》提升卷（教师版）

单元检测四　三角函数、解三角形(提升卷)

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间100分钟，满分130分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题中正确的是(　　)

A．终边在x轴正半轴上的角是零角

B．三角形的内角必是第一、二象限内的角

C．不相等的角的终边一定不相同

D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则角α与β的终边相同

答案　D

解析　对于A，因为终边在x轴正半轴上的角可以表示为α＝2kπ(k∈Z)，A错误；对于B，直角也可为三角形的内角，但不在第一、二象限内，B错误；对于C，例如30°≠－330°，但其终边相同，C错误，故选D.

2．若角α的终边经过点P，则cosα·tanα的值是(　　)

A．－B.C．－D.

答案　A

解析　因为角α的终边经过点P，

所以cosα＝，tanα＝－，所以cosα·tanα＝×＝－，故选A.

3．(已知sin＝，则sin等于(　　)

A.B．－C．±D．－

答案　B

解析　∵sin＝cos＝cos＝，

∴sin＝cos＝cos＝2cos2－1=－.

4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2017)＝－1，则f(2020)等于(　　)

A．1B．2C．0D．－1

答案　A

解析　由题知，f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，若f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－1，则asinα＋bcosβ＝1，所以f(2020)＝asin(2020π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1，故选A.

5．函数y＝cos2－sin2的最小正周期为(　　)

A.B.C．πD．2π

答案　C

解析　函数y＝cos2－sin2＝cos＝－sin2x，

所以函数的最小正周期是T＝＝π，故选C.

6．设a＝tan35°，b＝cos55°，c＝sin23°，则(　　)

A．a>b>c B．b>c>a

C．c>b>a D．c>a>b

答案　A

解析　由题可知b＝cos55°＝sin35°，因为sin35°>sin23°，所以b>c，利用三角函数线比较tan35°和sin35°，易知tan35°>sin35°，所以a>b.综上，a>b>c，故选A.

7．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是偶函数，则θ的最小正实数值是(　　)

A.B.C.D.

答案　B

解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2·sin.因为f(x)为偶函数，所以当x＝0时，2x＋θ＋＝θ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z)．

当k＝0时，θ取得最小正实数值，故选B.

8．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)

A.sin B.sin

C.sin D.sin

答案　C

解析　由题图知，函数f(x)的最小正周期T＝2＝8π，A＝，所以ω＝＝，

f(x)＝sin，由点在函数f(x)的图象上，可知sin＝0，又0<|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC．则角B的大小为(　　)

A.B.C.D.

答案　C

解析　由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cosB＝＝＝－，又B∈(0，π)，解得B＝，故选C.

10．已知函数f(x)＝sin2x－2cos2x，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝－4，则|x1－x2|的值可能为(　　)

A.B.C.D．π

答案　C

解析　由题意得f(x)＝sin2x－cos2x－1

＝2sin－1，则g(x)＝2sin，故函数g(x)的最小正周期T＝＝.

由g(x1)·g(x2)＝－4，知g(x1)与g(x2)的值一个为2，另一个为－2，

故|x1－x2|＝＝(k∈Z)．当k＝1时，|x1－x2|＝，故选C.

11．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，c2sinAcosA＋a2sinCcosC＝4sinB，cosB＝，已知D是AC上一点，且S△BCD＝，则等于(　　)

A.B.C.D.

答案　A

解析　设＝＝＝k，则由c2sinA·cosA＋a2sinCcosC＝4sinB，

得k2sinAsinC(sinC·cosA＋sinAcosC)＝4sinB，即k2sinAsinCsin(C＋A)＝4sinB，

所以k2sinAsinC＝4，即ac＝4.又cosB＝，所以sinB＝，所以S△ABC＝acsinB＝，

所以＝＝1－＝，故选A.

12．已知f(x)＝2sinωxcos2－sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案　B

解析　f(x)＝sinωx(1＋sinωx)－sin2ωx＝sinωx，所以是含原点的单调递增区间，因为函数f(x)在区间上是增函数，所以⊆，所以解得ω≤.又ω>0，所以0<ω≤.因为函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<，解得≤ω<.综上ω的取值范围为，故选B.

第Ⅱ卷(非选择题　共70分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知锐角α满足cos＝cos2α，则sinαcosα＝________.

答案　

解析　由cos＝cos2α，得(cosα＋sinα)＝cos2α－sin2α，因为cosα＋sinα≠0，所以可化简得cosα－sinα＝，即(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，解得sinα·cosα＝.

14．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．高一某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm，则制作这样一面扇面需要的布料为________cm2.

答案　450π

解析　由扇形的面积公式，知制作这样一面扇面需要的布料为××60×60－××30×30＝450π(cm2)．

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，△ABC的面积为，且tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，则a＋b＝________.

答案　

解析　由tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，

得tan(A＋B)＝＝－，又A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＝，

所以C＝.由S△ABC＝absinC＝，得ab＝6.

又cosC＝＝＝，解得a＋b＝.

16．函数y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB＝θ，则sin2θ＝________.

答案　

解析　由题意知函数y＝sin(πx＋φ)的最小正周期为T＝＝2，过点P作PQ垂直x轴于点Q(图略)，则tan∠APQ＝＝，tan∠BPQ＝＝，tanθ＝tan(∠APQ＋∠BPQ)＝8，

故sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝.

三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.

(1)求tan2α的值；

(2)求β.

解　(1)由cosα＝，0<α<，得sin α＝＝＝，

∴tan α＝＝×＝4，

∴tan 2α＝＝＝－.

(2)由0<β<α<，得0<α－β<，

又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.

由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝，∴β＝.

18．已知函数f(x)＝sin＋sin2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若对任意x∈R，有g(x)＝f，求函数g(x)在上的值域．

解　(1)f(x)＝sin＋sin2x

＝＋sin2x

＝sin 2x＋cos 2x＋sin2x

＝sin 2x＋cos2x－＋sin2x

＝sin 2x＋1－＝sin 2x＋，

故函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋.

∵对任意x∈R，有g(x)＝f，

∴g(x)＝sin 2＋＝sin＋，

当x∈时，2x＋∈，

则－≤sin≤1，

∴－×＋≤g(x)≤＋，即≤g(x)≤1.

故函数g(x)在上的值域为.

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2A－cos2B＝2coscos.

(1)求角B的值；

(2)若b＝，且b≤a，求a－的取值范围．

解　(1)由cos 2A－cos 2B＝2coscos，

得2sin2B－2sin2A＝2，则sin B＝，

所以B＝或.

(2)因为b≤a，所以B＝，

由正弦定理＝＝＝＝2，得a＝2sin A，c＝2sin C.

所以a－＝2sin A－sin C＝2sin A－sin＝sin A－cosA＝sin.

又b≤a，所以≤A<，则≤A－<，所以≤sin<，

所以a－∈.

20．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2＋b2＝6abcosC，且sin2C＝2sinAsinB.

(1)求角C的值；

(2)设函数f(x)＝sin＋cosωx(ω>0)，且f(x)的图象上两相邻的最高点之间的距离为π，求f(A)的取值范围．

解　(1)因为a2＋b2＝6abcos C，

由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2abcos C，

所以cosC＝.

又sin2C＝2sin AsinB，由正弦定理得c2＝2ab，

所以cosC＝＝＝，

又C∈(0，π)，所以C＝.

(2)f(x)＝sin＋cosωx＝sin，

则最小正周期T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝sin.

因为C＝，B＝－A，则解得<A<，

所以π<2A＋<，则－<f(A)<0.

所以f(A)的取值范围是.