初中数学中考二轮专题练习 专题08 分段函数的应用

考点分析：分段函数的考察在实际应用题以及数形结合的填空选择题中出现的频率还是比较高的，常见的应用题中已知两种不同的函数关系并且求出相关的一些问题，需要我们对初中的几个函数表达式熟悉，数形结合题目中一般会给我们分段函数的图像，由两种或者多种函数组成的新的函数图像，我们在利用已学的函数知识的基础上进行加以理解与运用。

常见的函数关系：

1.正比例函数关系  y=kx          k≠0，a≠0

2.一次函数关系    y=kx+b

3.反比例函数关系  y=

4.二次函数关系    y=ax2+bx+c

解题步骤方法：

1.根据题意设出相应的函数关系式。

2.根据已知的数据求出函数表达式，如果遇到图像题，那么要找到相应的函数图像上的点坐标去代入从而求出函数的解析式。

3. 如果要研究面积那就根据求解面积来列式，如果要求利润那就列关于利润的表达式，充分利用前面小问中求出来的解析式。

4.自变量的取值一定要看清楚，不同的取值对应了不同的函数，所以对应的函数值也不同，需要格外注意。

【例1】某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：

(1)求y与x之间的函数表达式；

(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入—成本)；

(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？

【例2】某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：

y＝

(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式；

(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？

(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．

(3)当40≤x＜60时，令W＝750，得

－2(x－50)2＋800＝750，解得x1＝45，x2＝55.

由函数W＝－2(x－50)2＋800的性质可知，

当45≤x≤55时，W≥750，

当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.

答：要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.

【例3】某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系为p＝日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系如图3－3－1所示．

(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？

(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2 400元？

(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1 kg小龙虾，就捐赠m(m＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．

【解析】 (1)根据函数图象，利用待定系数法求解可得；

(2)设日销售利润为W，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润＝每千克利润×销售”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；

(3)求出W＝2 400时x的值，结合函数图象即可得出答案；

(4)依据(2)中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．

②当41≤t≤80时，w＝(－2t＋200)＝(t－90)2－100，

∴当t＝41时，W最大＝2 301，

∵2 450＞2 301，

∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2 450元；

(3)由(2)得当1≤t≤40时，W＝－(t－30)2＋2 450，

令W＝2 400，即－(t－30)2＋2 450＝2 400，解得t1＝20，t2＝40，

由函数W＝－(t－30)2＋2 450的图象(如答图)可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2 400元，

第3题答图

而当41≤t≤80时，W最大＝2 301＜2 400，

∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件；

【例4】小慧和小聪沿图3－3－2①中景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：

图3－3－2

(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？

(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义；

(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？

(2)设直线GH的函数表达式为s＝kt＋b，

由于点G的坐标为，点H的坐标为(3，0)，

则有解得

∴直线GH的函数表达式为s＝－20t＋60，

又∵点B的纵坐标为30，

∴当s＝30时，得－20t＋60＝30，解得t＝，

∴点B的坐标为.

答：点B的实际意义是上午8：30小慧与小聪在离宾馆30  km(即景点草甸)处第一次相遇；

(3)方法一：设直线DF的函数表达式为s＝k1t＋b1，该直线过点D和F(5，0)，

由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为50÷30＝(h)，

∴小慧从飞瀑准备返回时t＝5－＝(h)，

即点D的坐标为.

则有解得

∴直线DF的函数表达式为s＝－30t＋150，

∵小聪上午10：00到达宾馆后立即以30 km/h的速度返回飞瀑，所需时间为50÷30＝(h)．

如答图，HM为小聪返回时s关于t的函数图象，

∴点M的横坐标为3＋＝，∴M，

【例5】科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图3－3－3所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为W(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本)

图3－3－3

(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式．

(2)求出第一年这种电子产品的年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．

(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围．

(3)根据条件“第二年的年利润不低于103万元”，可得W≥103，这是一个一元二次不等式，观察年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，从而得出结果．

解：(1)当4≤x≤8时，设 y＝，将A(4，40)代入，得

k＝4×40＝160.

∴y与x之间的函数关系式为y＝.

当8＜x≤28时，设y＝kx＋b，将B(8，20)，C(28，0)代入，得   解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋28.

∴综上所述，得y＝

(2)当4≤x≤8时，W＝(x－4)×y－160＝(x－4)×－160＝－.

(3)∵第一年的年利润为－16万元．

∴16万元应作为第二年的成本．

又∵x＞8，

∴第二年的年利润W＝(x－4)(－x＋28)－16

＝－x2＋32x－128，

令W＝103，则－x2＋32x－128＝103，解得x1＝11，x2＝21.

在平面直角坐标系中，画出W与x的函数示意图如答图，观察示意图可知：当W≥103时，11≤x≤21.

∴当11≤x≤21时，第二年的年利润W不低于103万元．

【例6】水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．

(1)求该种水果每次降价的百分率；

(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

解：(1)设该种水果每次降价的百分率为x，依题意，

得10(1－x)2＝8.1，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．

答：该种水果每次降价的百分率为10%.

(2)第一次降价后的销售价格为10×(1－10%)＝9(元/斤)，

当1≤x＜9时，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352；

当9≤x＜15时，y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80，

综上所述，y与x的函数关系式为

y＝

当1≤x＜9时，y＝－17.7x＋352，

∴当x＝1时，y最大＝334.3(元)；

当9≤x＜15时，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，

∴当x＝10时，y最大＝380(元)．

∵334.3＜380，  ∴在第10天时销售利润最大．

(3)设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意，得

380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，解得a≤0.5，

则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．