辽宁省大连市2022届高三上学期期末双基测试数学试题含答案

2022 年大连市高三双基测试卷
数学
 

注意事项：

1 ． 本试卷分第 Ⅰ卷 (选择题) 和第 II 卷（非选择题）两部分．
2． 考生作答时， 将答案答在答题卡上， 在本试卷上答题无效． 考试结束后， 将 本试卷和答题卡一并交回．

第 I 卷（选择题 共 60 分）

一、单项选择题 (本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)

1. 若集合 ， 则
   (A)
   (B)
   (C)
   (D)
2. 复数 的共轭复数是 为虚数单位
   (A)
   (B)
   (C)
   (D)
3. 将函数 的图像向右平移 个单位长度后， 所得图像对应的函数解析式可以是
   (A)
   (B)
   (C)
   (D)
4. 1970 年 4 月 24 日中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射， 东方红一号发射的目标被归结为 12 个字： “上得去、抓得住、听得到、看得见”． 然而， 卫星本身是一个直 径只有 1 米的球形 72 面体， 在轨道上被太阳照射时亮度相当于 7 等星， 而在天气、光线 都好的情况下， 人的肉眼基本看不见 7 等星． 设计师们采用“借箭显星”： 在第三级火箭上 安装一个可以撑开的球 (也称“观测球”)， 观测球撑开时在太阳照射下的亮度相当于 2 等 星， 这样就实现了“看得见”这一目标． 已知两颗星的星等与亮度满足： ， 其中星等为 的星的亮度为 ， 则在太阳照射下， 观测球的亮度是卫星亮度的 ( ） 倍
   (A) 100
   (B) 50
   (C) 10
   (D) 5
5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 曲线 上存在一点 使得 为等腰直角三角形， 则双曲线 的离心率为
   (A)
   (B)
   (C)
   (D)
6. 五行学说是华夏民族创造的哲学思想， 是华夏文明的重要组成部 分． 古人认为， 天下万物皆由金、木、水、火、土五种属性的物质组成， 如图， 分别是金、木、水、火、土这五行彼此之间存在的相生相克的关 系． 若从这五行中任选不同的两行， 则这两行相克的概率为 (    )

(A)
(B)
(C)
(D)

7. 函数 的图像大致是

8. 如图所示， 正方体 中， 点 为底面 的中心， 点 在侧面 的边界及其内部移动， 若 ， 则异面直线 与 所成角的余弦值的最大值为

(A)
(B)
(C)
(D)

二、多项选择题 (本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求， 全部选对的得 5 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得 2 分．)

9. 变量 与变量 的 20 对数据记为 ， 其中， 根据最小二乘法求得回归直线方程是 ， 变量间的相关系数为 ， 则下列说法中 正确的是 ( )
   (A) 利用回归直线方程计算所得的 与实际值 必有误差
   (B) 回归直线 必过点
   (C) 若所有的点 都在回归直线 上， 则
   (D) 若变量 与 正相关， 则
10. 已知两个正四棱锥， 它们的所有棱长均为 2 ， 下列说法中正确的是
    (A) 若将这两个正四棱锥的底面完全重合， 得到的几何体的顶点都在半径为 的球面上
    (B) 若将这两个正四棱锥的底面完全重合， 得到的几何体中有 6 对棱互相平行
    (C) 若将这两个正四棱锥的一个侧面完全重合， 则两个棱锥的底面互相垂直
    (D) 若将这两个正四棱锥的一个侧面完全重合， 得到的几何体的表面积为
11. 若圆 和圆 恰有三条公切线， 则下列结论正确的是
    (A)
    (B)
    (C)
    (D)
12. 如图所示， 将平面直角坐标系中的格点 (横、纵坐标均为整数的点) 的横、纵坐标之和作为标签， 例如： 原点处标签为 0 ， 记为 ； 点 处标签为 1 ， 记为 ； 点 处标签为 2 ， 记为 ； 点 处标签为 1 ， 记为 ； 点 处 标签为 0 ， 记为 以此类推， 格点 处标签为 ， 记 ， 则

(A)
(B)
(C)
(D)
 

第 II 卷（非选择题 共 90 分）
 

三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． )

13. 已知向量 ， 若 ， 则 ________．
14. 已知在 的展开式中， 第 3 项和第 10 项的二项式系数相等， 则展开式的系数 和为________．
15. 已知抛物线 的焦点为 ， 过 作一条直线与抛物线 及其准线都相交， 交点 从左到右依次为 ， 若 ， 则线段 的中点到 轴的距离为________．
16. 已知函数 有三个零点 ， 且有 ， 则 的值为________．

四、解答题（本大题共 6 小题， 共 70 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． )
 

17. (本小题满分 10 分)
    已知等比数列 中， 公比 ．
    (I) 求 的通项公式；
    (II) 记 ， 求数列 的前 项和 ．
     
18.  (本小题满分 12 分)
    的内角 的对边分别为 ， 已知 ．
    (I)求角 的大小；
    (II) 若点 为 的中点， 且 ， 求边 的最大值．
19. (本小题满分 12 分)
    如图， 在四棱锥 中， ．
    (I)证明： 平面 ；
    (II) 在下面三个条件中选择两个条件：________ ， 求点 到平面 的距离．
    ① ；②二面角 为 ；③直线 与平面 成角为 ．
     
20. (本小题满分 12 分)
    已知椭圆 的左， 右焦点为 ， 离心率 为椭圆 上任 意一点， 且满足 的最小值为 1 ．
    (I)求椭圆 的标准方程；
    (II) 经过右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点， 若 的三边长 成等差数列， 求 的面积．
21. (本小题满分 12 分)
    某地区出现了一种病毒性传染病疫情， 该病毒是一种人传人， 不易被人们直接发现， 潜伏时间长， 传染性极强的病毒． 我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触 者， 一旦发现感染者， 社区会立即对其进行流行病学调查， 找到其密切接触者进行隔离观 察． 通过病毒指标检测， 每位密切接触者为阳性的概率为， 且每位密切接触者病毒指标是否为阳性相互独立． 调查发现某位感染者共有 10 位密切接触者， 将这 10 位密切接触者隔离之后立即进行病毒指标检测． 检测方式既可以采用逐个检测， 又可 以采用“ 合 1 检测法”． “ 合 1 检测法” 是将 个样本混合在一起检测， 混合样本中只要 发现阳性， 则该组中各个样本必须再逐个检测； 若混合样本为阴性， 则可认为该混合样本 中每个人都是阴性．
    (I)若逐个检测， 发现恰有 2 个人样本检测结果为阳性的概率为 ， 求 的最大值点 ；
    （Ⅱ） 若采用 “ 5 合 1 检测法”， 总检测次数为 ， 求随机变量 的分布列及数学期望 ；
    (III) 若采用“10 合 1 检测法”， 总检测次数 的数学期望为 ， 以(I)中确定的 作为 的 值， 试比较 与 的大小 (精确到 0．1)．
    附： ．
22. (本小题满分 12 分)
    已知函数 ， 其中 ．
    (I)若 时， 恒成立， 求实数 ．  的取值范围；
    (II) 若函数 的最小值为 ， 试证明： 函数 有且仅有一 个零点．