第一章 再练一课(范围：§1～2.1)学案

再练一课(范围：§1～2.1)

一、单项选择题

1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝2，则a4等于(　　)

A．5  B．6  C．7  D．9

答案　C

解析　a4＝a1＋3d＝1＋3×2＝7.

2．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的(　　)

A．第20项   B．第24项

C．第25项   D．第30项

答案　B

解析　由数列1×2,2×3,3×4,4×5，…可得通项公式为an＝n(n＋1)，n∈N＋，令n(n＋1)＝600，求得n＝24，故选B.

3．若{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为(　　)

A．p＋q   B．0

C．－(p＋q)   D.

答案　B

解析　∵ap＝q，aq＝p，∴d＝＝－1，

∴ap＋q＝ap＋qd＝q＋q×(－1)＝0.

4．有穷等差数列5,8,11，…，3n＋11(n∈N＋)的项数是(　　)

A．n  B．3n＋11  C．n＋4  D．n＋3

答案　D

解析　由题意知a1＝5，a2＝8，所以d＝3，所以an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2，设3n＋11(n∈N＋)是数列中的第k项，即3n＋11＝3k＋2，解得k＝n＋3.

5．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为(　　)

A．30  B．27  C．24  D．21

答案　B

解析　因为a1＋a4＋a7＝3a4＝39，所以a4＝13.因为a2＋a5＋a8＝3a5＝33，所以a5＝11，所以d＝a5－a4＝－2.又a6＝a5＋d＝9，所以a3＋a6＋a9＝3a6＝27.

6．将正整数排成下表：

1

2   3   4

5   6   7   8   9

10  11  12  13  14  15  16

…

则在表中数字2 021出现在(　　)

A．第44行第83列   B．第45行第83列

C．第44行第85列   D．第45行第85列

答案　D

解析　因为每行的最后一个数分别是1,4,9,16，…，可归纳出第n行的最后一个数是n2，因为442＝1 936,452＝2 025，所以2 021出现在第45行，又2 021－1 936＝85，所以2 021出现在第45行第85列．

二、多项选择题

7．下列四个命题中，正确的有(　　)

A．数列的第k项为1＋

B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N＋，则－8是该数列的第7项

C．数列3,5,9,17,33…的一个通项公式为an＝2n－1

D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，则数列{an}是递增数列

答案　ABD

解析　对于A，数列的第k项为1＋，A正确；

对于B，令n2－n－50＝－8，解得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；

对于C，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N＋)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N＋)，C错误；

对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝－＝>0，因此数列{an}是递增数列，D正确，故选ABD.

8．已知首项为正数的等差数列{an}满足(a5＋a6＋a7＋a8)·(a6＋a7＋a8)<0，则(　　)

A．a6＋a7<0   B．a6>0

C．a7>0   D．a6＋a7>0

答案　BD

解析　由等差数列的性质可得(a5＋a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8)＝2(a6＋a7)(3a7)＝6(a6＋a7)a7<0，

故可得或

因为首项为正数的数列{an}为等差数列，

若数列单调递增，则每项为正数，与题意矛盾，

所以所以a6>0>a7.

三、填空题

9．函数f(x)＝x2－2x＋n(n∈N＋)的最小值记为an，记bn＝f(an)，则数列{an}，{bn}的通项公式分别是an＝________，bn＝________.

答案　n－1　n2－3n＋3

解析　当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＋n＝n－1，即an＝n－1；将x＝n－1代入f(x)，得bn＝f(n－1)＝(n－1)2－2(n－1)＋n＝n2－3n＋3.

10．已知{an}为等差数列，a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则该数列的正数项共有________项．

答案　6

解析　由已知得解得

所以an＝－3n＋20.

令an≥0，解得n≤，

即n＝1,2,3，…，6，故该数列的正数项共有6项．

11．已知{an}为等差数列，且a6＝4，则a4a7的最大值为________．

答案　18

解析　设等差数列的公差为d，

则a4a7＝(a6－2d)(a6＋d)＝(4－2d)(4＋d)

＝－2(d＋1)2＋18，即a4a7的最大值为18.

12．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是________．

答案　144

解析　由题意及图形知，不妨构造数列{an}表示第n行实心圆点的个数的变换规律，

其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．

故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．

即a1＝0，a2＝1，且当n≥3时，an＝an－1＋an－2，

故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.

四、解答题

13．已知数列{an}，an＝n2－pn＋q，且a1＝0，a2＝－4.

(1)求a5；

(2)判断150是不是该数列中的项？若是，是第几项？

解　(1)由已知，得解得

所以an＝n2－7n＋6，

所以a5＝52－7×5＋6＝－4.

(2)令an＝n2－7n＋6＝150，

解得n＝16(n＝－9舍去)，

所以150是该数列中的项，并且是第16项．

14．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．

解　(1)因为a1＋a2＋a3＝12，a1＋a3＝2a2，

所以3a2＝12，解得a2＝4.

因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，解得d＝2.

所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n，n∈N＋.

(2)由(1)知，a2＝4，a4＝8，a6＝12，…，a2n＝2×2n＝4n.

当n≥2时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.

即bn－bn－1＝4且b1＝a2＝4，

所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列，

所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n，n∈N＋.

15．有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少．

解　设某单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价按台数n成等差数列．

设该数列为{an}．an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，

解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.

当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．

到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600(元)．

作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，

当n<10时，600n<(800－20n)n，

当n＝10时，600n＝(800－20n)n，

当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，

当n>18时，440n<600n.

即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．