2020-2021学年第24章 圆综合与测试随堂练习题
展开沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2、下列四个图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3、如图,AB是的直径,的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P,于点E,,,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
4、下列判断正确的个数有( )
①直径是圆中最大的弦;
②长度相等的两条弧一定是等弧;
③半径相等的两个圆是等圆;
④弧分优弧和劣弧;
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5、如图是一个含有3个正方形的相框,其中∠BCD=∠DEF=90°,AB=2,CD=3,EF=5,将它镶嵌在一个圆形的金属框上,使A,G, H三点刚好在金属框上,则该金属框的半径是( )
A. B. C. D.
6、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8.把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C',点B'恰好落在AC边上,则CC'=( )
A.10 B.2 C.2 D.4
7、如图,在Rt△ABC中,,,,以边上一点为圆心作,恰与边,分别相切于点,,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8、已知⊙O的半径为4,点P 在⊙O外部,则OP需要满足的条件是( )
A.OP>4 B.0≤OP<4 C.OP>2 D.0≤OP<2
9、如图,圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2,则圆形螺帽的半径是( )
A.1cm B.2cm C.2cm D.4cm
10、如图,△ABC外接于⊙O,∠A=30°,BC=3,则⊙O的半径长为( )
A.3 B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,在Rt△ABC,∠B=90°,AB=BC=1,将△ABC绕着点C逆时针旋转60°,得到△MNC,那么BM=______________.
2、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是________
3、如图,将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与零刻度线的一端重合,∠ABC=38°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是 ___.
4、边长相等、各内角均为120°的六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示,,点B在原点,把六边形ABCDEF沿x轴正半轴绕顶点按顺时针方向,从点B开始逐次连续旋转,每次旋转60°,经过2021次旋转之后,点B的坐标是_____________.
5、如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,∠A=30°,OH=1,则⊙O的半径是______.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,作∠FAC=∠BAC,过点C作CF⊥AF于点F.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)若sin∠CAB=,求=_______.(直接写出答案)
2、如图,在直角坐标系中,将△ABC绕点A顺时针旋转90°.
(1)画出旋转后的△AB1C1,并写出B1、C1的坐标;
(2)求线段AB在旋转过程中扫过的面积.
3、如图,AB是的直径,CD是的一条弦,且于点E.
(1)求证:;
(2)若,,求的半径.
4、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知:⊙O和⊙O外一点P.
求作:过点P的⊙O的切线.作法:如图,
(1)连接OP;
(2)分别以点O和点P为圆心,大于的长半径作弧,两弧相交于M,N两点;
(3)作直线MN,交OP于点C;
(4)以点C为圆心,CO的长为半径作圆,交⊙O于A,B两点;
(5)作直线PA,PB.直线PA,PB即为所求作⊙O的切线
完成如下证明:
证明:连接OA,OB,
∵OP是⊙C直径,点A在⊙C上
∴∠OAP=90°(___________)(填推理的依据).
∴OA⊥AP.
又∵点A在⊙O上,
∴直线PA是⊙O的切线(___________)(填推理的依据).
同理可证直线PB是⊙O的切线.
5、如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC是直径,点C是劣弧BD的中点.
(1)求证:.
(2)若,,求BD.
-参考答案-
一、单选题
1、D
【详解】
解:.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意.
故选:D.
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
2、D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】
解:A、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不符合题意;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意;
故选:D.
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.
3、B
【分析】
由垂径定理可知,AE=CE,则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积,求出,然后利用扇形面积公式,即可求出答案.
【详解】
解:根据题意,如图:
∵AB是的直径,OD是半径,,
∴AE=CE,
∴阴影CED的面积等于AED的面积,
∴,
∵,,
∴,
∴;
故选:B
【点睛】
本题考查了求扇形的面积,垂径定理,解题的关键是掌握所学的知识,正确利用扇形的面积公式进行计算.
4、B
【详解】
①直径是圆中最大的弦;故①正确,
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧;故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆;故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆,故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧,故不一定相等,则⑤不正确.
综上所述,正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念,掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键.
5、A
【分析】
如图,记过A,G, H三点的圆为则是,的垂直平分线的交点, 记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线,结合正方形的性质可得:再设利用勾股定理建立方程,再解方程即可得到答案.
【详解】
解:如图,记过A,G, H三点的圆为则是,的垂直平分线的交点,
记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线,结合正方形的性质可得:
四边形为正方形,则
设 而AB=2,CD=3,EF=5,结合正方形的性质可得:
而
又 而
解得:
故选A
【点睛】
本题考查的是正方形的性质,三角形外接圆圆心的确定,圆的基本性质,勾股定理的应用,二次根式的化简,确定过A,G, H三点的圆的圆心是解本题的关键.
6、D
【分析】
首先运用勾股定理求出AC的长度,然后结合旋转的性质得到AB= AB',BC= B'C',从而求出B'C,即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解.
【详解】
解:∵在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
∴,
由旋转性质可知,AB= AB'=6,BC= B'C'=8,
∴B'C=10-6=4,
在Rt△B'C'C中,,
故选:D.
【点睛】
本题考查勾股定理,以及旋转的性质,掌握旋转变化的基本性质,熟练运用勾股定理求解是解题关键.
7、A
【分析】
连结OC,根据切线长性质DC=AC,OC平分∠ACD,求出∠OCD=∠OCA==30°,利用在Rt△ABC中,AC=ABtanB=3×,在Rt△AOC中,∠ACO=30°,AO=ACtan30°=,利用三角形面积公式求出,,再求出扇形面积,利用割补法求即可.
【详解】
解:连结OC,
∵以边上一点为圆心作,恰与边,分别相切于点A, ,
∴DC=AC,OC平分∠ACD,
∵,,
∴∠ACD=90°-∠B=60°,
∴∠OCD=∠OCA==30°,
在Rt△ABC中,AC=ABtanB=3×,
在Rt△AOC中,∠ACO=30°,AO=ACtan30°=,
∴OD=OA=1,DC=AC=,
∴,,
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°,
∴,
S阴影=.
故选择A.
【点睛】
本题考查切线长性质,锐角三角形函数,扇形面积,三角形面积,角的和差计算,割补法求阴影面积,掌握切线长性质,锐角三角形函数,扇形面积,三角形面积,角的和差计算,割补法求阴影面积是解题关键.
8、A
【分析】
点在圆外,则点与圆心的距离大于半径,根据点与圆的位置关系解答.
【详解】
解:∵⊙O的半径为4,点P 在⊙O外部,
∴OP需要满足的条件是OP>4,
故选:A.
【点睛】
此题考查了点与圆的位置关系,熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键.
9、D
【分析】
根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形,由面积公式可求出半径.
【详解】
解:如图,由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形,过作于
设半径为r,即OA=OB=AB=r,
OM=OA•sin∠OAB=,
∵圆O的内接正六边形的面积为(cm2),
∴△AOB的面积为(cm2),
即,
,
解得r=4,
故选:D.
【点睛】
本题考查正多边形和圆,作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键.
10、A
【分析】
分析:连接OA、OB,根据圆周角定理,易知∠AOB=60°;因此△ABO是等边三角形,即可求出⊙O的半径.
【详解】
解:连接BO,并延长交⊙O于D,连结DC,
∵∠A=30°,
∴∠D=∠A=30°,
∵BD为直径,
∴∠BCD=90°,
在Rt△BCD中,BC=3,∠D=30°,
∴BD=2BC=6,
∴OB=3.
故选A.
【点睛】
本题考查了圆周角性质,利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质,30°角所对直角三角形性质,掌握圆周角性质,利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质,30°角所对直角三角形性质是解题的关键.
二、填空题
1、
【分析】
设BN与AC交于D,过M作MF⊥BA于F,过M作ME⊥BC于E,连接AM,先证明△EMC≌△FMA得ME=MF,从而可得∠CBD=45°,∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°,再在Rt△BCD、Rt△CDM中,分别求出BD和DM,即可得到答案.
【详解】
解:设BN与AC交于D,过M作MF⊥BA于F,过M作ME⊥BC于E,连接AM,如图:
∵△ABC绕着点C逆时针旋转60°,
∴∠ACM=60°,CA=CM,
∴△ACM是等边三角形,
∴CM=AM①,∠ACM=∠MAC=60°,
∵∠B=90°,AB=BC=1,
∴∠BCA=∠CAB=45°,AC==CM,
∴∠BCM=∠BCA+∠ACM=105°,∠BAM=∠CAB+∠MAC=105°,
∴∠ECM=∠MAF=75°②,
∵MF⊥BA,ME⊥BC,
∴∠E=∠F=90°③,
由①②③得△EMC≌△FMA,
∴ME=MF,
而MF⊥BA,ME⊥BC,
∴BM平分∠EBF,
∴∠CBD=45°,
∴∠CDB=180°-∠BCA-∠CBD=90°,
Rt△BCD中,BD=BC=,
Rt△CDM中,DM=CM =,
∴BM=BD+DM=,
故答案为:.
【点睛】
本题考查等腰三角形性质、等边三角形的性质及判定,解题的关键是证明∠CDB=90°.
2、
【分析】
由勾股定理求得圆锥母线长为,再由圆锥的侧面积公式即可得出圆锥侧面积为.
【详解】
∵是一个圆锥在某平面上的正投影
∴为等腰三角形
∵AD⊥BC
∴
在中有
即
由圆锥侧面积公式有.
故答案为:。
【点睛】
本题考查了计算圆锥的侧面积,若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则这个扇形的半径为l,扇形的弧长为,圆锥的侧面积为.
3、76°或142°
【分析】
设AB的中点为O,连接OD,则∠BOD为点D在量角器上对应的角,根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD,根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可.
【详解】
解:设AB的中点为O,连接OD,则∠BOD为点D在量角器上对应的角,
∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,
∴A、C、B、D四点共圆,圆心为点O,
∴∠BOD=2∠BCD,
①若BC为等腰三角形的底边时,如图射线CD1,则∠BCD1=∠ABC=38°,
连接OD1,则∠BOD1=2∠BCD1=76°;
②若BC为等腰三角形的腰时,
当∠ABC为顶角时,如图射线CD2,则∠BCD2=(180°-∠ABC)÷2=71°,
连接OD2,则∠BOD2=2∠BCD2=142°,
当∠ABC为底角时,∠BCD=180°-2∠ABC=104°,不符合题意,舍去,
综上,点D在量角器上对应的度数是76°或142°,
故答案为:76°或142°.
【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理,熟练掌握圆周角定理,利用分类讨论思想解决问题是解答的关键.
4、
【分析】
根据旋转找出规律后再确定坐标.
【详解】
∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,
∴每6次翻转为一个循环组循环,
∵,
∴经过2021次翻转为第337循环组的第5次翻转,点B在开始时点C的位置,
∵,
∴,
∴翻转前进的距离为:,
如图,过点B作BG⊥x于G,
则∠BAG=60°,
∴,
,
∴,
∴点B的坐标为.
故答案为:.
【点睛】
题考查旋转的性质与正多边形,由题意找出规律是解题的关键.
5、2
【分析】
连接OC,利用半径相等以及三角形的外角性质求得∠COH=60°,∠OCH=30°,利用30度角的直角三角形的性质即可求解.
【详解】
解:连接OC,
∵OA=OC,∠A=30°,
∴∠COH=2∠A=60°,
∵弦CD⊥AB于H,
∴∠OHC=90°,
∴∠OCH=30°,
∵OH=1,
∴OC=2OH=2,
故答案为:2.
【点睛】
本题考查了垂径定理和含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握垂径定理是解题的关键.
三、解答题
1、
(1)见解析
(2)
【分析】
(1)如图,连接OC,根据等腰三角形的性质可得∠CAB=∠ACO,即可得出∠FAC=∠ACO,可得AF//OC,根据平行线的性质可得∠AFC+∠OCF=180°,根据CF⊥AF可得∠OCF=90°,即可得出CF是⊙O的切线;
(2)利用AAS可证明△AFC≌△AEC,可得S△AFC=S△AEC,根据垂径定理可得CE=DE,可得S△BCD=2S△BCE,根据AB是直径可得∠ACB=90°,根据角的和差关系可得∠BCE=∠CAB,根据正弦的定义可得,可得BE=,AB=,进而可得AE=,根据三角形面积公式即可得答案.
(1)
(1)如图,连接OC,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠ACO,
∵∠FAC=∠BAC,
∴∠FAC=∠ACO,
∴AF//OC,
∴∠AFC+∠OCF=180°,
∵CF⊥AF,
∴∠OCF=90°,即OC⊥CF,
∴CF是⊙O的切线.
(2)
在△AFC和△AEC中,,
∴△AFC≌△AEC,
∴S△AFC=S△AEC,
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE=DE,
∴S△BCD=2S△BCE,
∵∠BCE+∠CBA=90°,∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠BCE=∠CBA,
∵sin∠CAB=,
∴sin∠CAB=sin∠BCE=,
∴BE=,AB=,
∴AE=,
∴====.
故答案为:
【点睛】
本题考查切线的判定、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义,经过半径的外端点,且垂直于这条半径的直线是圆的切线;直径所对的圆周角是90°;垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧;在直角三角形中,锐角的正弦是锐角的对边与斜边的比值;熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.
2、(1)作图见解析,、;(2)
【分析】
(1)将绕点A顺时针旋转90°得,根据点A、B、C坐标,即可确定出点、的坐标;
(2)根据勾股定理求出AB的长,由扇形面积公式即可得出答案.
【详解】
(1)将绕点A顺时针旋转90°得如图所示:
∴、;
(2)由图可知:,
∴线段AB在旋转过程中扫过的面积为.
【点睛】
本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式,掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键.
3、(1)见解析;(2)3
【分析】
(1)根据∠D=∠B,∠BCO=∠B,代换证明;
(2)根据垂径定理,得CE=,,利用勾股定理计算即可.
【详解】
(1)证明:
∵OC=OB,
∴∠BCO=∠B;
∵,
∴∠B=∠D;
∴∠BCO=∠D;
(2)解:∵AB是⊙O的直径,且CD⊥AB于点E,
∴CE=CD,
∵CD=,
∴CE=,
在Rt△OCE中,,
∵OE=1,
∴,
∴;
∴⊙O的半径为3.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,垂径定理,勾股定理,结合图形,熟练运用三个定理是解题的关键.
4、直径所对的圆周角是直角 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】
连接OA,OB,根据圆周角定理可知∠OAP=90°,再依据切线的判定证明结论;
【详解】
证明:连接OA,OB,
∵OP是⊙C直径,点A在⊙C上,
∴∠OAP=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴OA⊥AP.
又∵点A在⊙O上,
∴直线PA是⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线),
同理可证直线PB是⊙O的切线,
故答案为:直径所对的圆周角是直角;经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
5、(1)见详解;(2)
【分析】
(1)由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD,进而问题可求解;
(2)由题意易得,然后由(1)可知△ABD是等边三角形,进而问题可求解.
【详解】
(1)证明:∵AC是直径,点C是劣弧BD的中点,
∴AC垂直平分BD,
∴;
(2)解:∵,,
∴,
∵,
∴△ABD是等边三角形,
∵,
∴.
【点睛】
本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理,熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键.
初中第24章 圆综合与测试课后复习题: 这是一份初中第24章 圆综合与测试课后复习题,共32页。试卷主要包含了点P关于原点O的对称点的坐标是,下列语句判断正确的是等内容,欢迎下载使用。
2021学年第24章 圆综合与测试精练: 这是一份2021学年第24章 圆综合与测试精练,共33页。
2021学年第24章 圆综合与测试同步测试题: 这是一份2021学年第24章 圆综合与测试同步测试题,共29页。