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人教版高中数学高考一轮复习训练--函数的奇偶性与周期性

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这是一份人教版高中数学高考一轮复习训练--函数的奇偶性与周期性，共4页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。

考点规范练7　函数的奇偶性与周期性

一、基础巩固

1.设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)=(　　)

A.- B. C.2 D.-2

2.函数f(x)=的图象(　　)

A.关于原点对称 B.关于x轴对称

C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称

3.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(　　)

A.1 B.5 C.-1 D.-5

4.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=(　　)

A.-3 B.- C. D.3

5.(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,下列等式成立的是(　　)

A.f(1 017)+f(1 018)=f(1 019)

B.f(1 017)+f(1 019)=f(1 018)

C.2f(1 017)+f(1 018)=f(1 019)

D.f(1 017)=f(1 018)+f(1 019)

6.若f(x)是偶函数,且对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则下列关系式中成立的是(　　)

A.f>f>f

B.f>f>f

C.f>f>f

D.f>f>f

7.(多选)已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)

A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R

C.f(x+1)=f(x) D.f(x)是奇函数

8.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(1),且f(0)=1,则f(2 020)的值为(　　)

A.1 B.2

C.-1 D.-2

9.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=,则f(1),g(0),g(-1)之间的大小关系是　　　　　　　　　　.

10.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)=f(x),已知当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x+1,则f(3)=　　　　　; f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)=　　　　　.

二、综合应用

11.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则(　　)

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数

C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+4)

12.已知函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在区间[-1,3]上的解集为(　　)

A.(1,3) B.(-1,1)

C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)

13.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于(　　)

A. B.- C.- D.

14.(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)是以2为周期的周期函数

B.函数f(x)是以4为周期的周期函数

C.函数f(x-1)为奇函数

D.函数f(x-3)为偶函数

15.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.

(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切的x都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

三、探究创新

16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x.若<a<,则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为　　　　　.

考点规范练7　函数的奇偶性与周期性

1.B　由已知得f(-)=f()=log2故选B.

2.C　由于函数f(x)==3x+3-x的定义域为R,且满足f(-x)=3x+3-x=f(x),故该函数为偶函数,图象关于y轴对称,故选C.

3.B　令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.

4.A　因为f(x)为R上的奇函数,

所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,

则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.

5.ABC　由f(x-3)=-f(x),知f(x)=f(x+6),即函数f(x)的周期为6.

又当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,所以f(1 017)=f(169×6+3)=f(3)=0,f(1 018)=f(170×6-2)=f(-2)=-f(2)=2,f(1 019)=f(170×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.

故选项A,B,C正确.

6.A　∵对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有<0,

∴函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.

又,∴f>f>f

又f(x)是偶函数,∴f=f,

∴f>f>f

7.BC　f(x)的值域为{0,1},故A错误;

f(x)定义域为R,故B正确;

当x是有理数时,x+1也是有理数,当x是无理数时,x+1也是无理数,故f(x+1)=f(x)成立,故C正确;

因为f(0)=1,所以f(x)不是奇函数,故D错误.

8.A　在f(x+2)+f(x)=f(1)中,令x=-1,得f(1)+f(-1)=f(1),即f(-1)=0,又f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=0,从而f(x+2)+f(x)=0,所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是以4为周期的周期函数,

所以f(2 020)=f(4×505)=f(0)=1.

9.f(1)>g(0)>g(-1)　在f(x)-g(x)=中,用-x替换x,得f(-x)-g(-x)=2x.

因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.

于是解得f(x)=,g(x)=-,于是f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,故f(1)>g(0)>g(-1).

10.0　1 011　由f(x+2)=f(x),得函数f(x)的周期为2,f(3)=f(1)=1-2+1=0,f(0)=0-0+1=1,f(1)=f(3)=0,故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)=1 010×(f(0)+f(1))+f(0)=1 011.

11.CD　由题知函数f(x)的定义域为R,因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2).

因为f(x-1)是偶函数,

所以f(-x-1)=f(x-1),

从而f(-x)=f(x-2).

于是f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数.

因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数.

12.C　f(x)的图象如图所示.

当x∈[-1,0)时,由xf(x)>0,得x∈(-1,0);

当x∈[0,1)时,由xf(x)>0,得x∈⌀;

当x∈[1,3]时,由xf(x)>0,得x∈(1,3).

故x∈(-1,0)∪(1,3).

13.D　由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数.

由于log232>log220>log216,则4<log220<5,得f(log220)=f(log220-4)=f=-f-log2.

因为当x∈(-1,0)时,f(x)=2x-1,

所以f=-,故f(log220)=

14.BC　对于选项A,B,∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).

∵f(x)+f(2-x)=0,∴f(-x)+f(2+x)=0,

则f(x)+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(x),

∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数,由此可知选项A错误,选项B正确;

对于选项C,令F(x)=f(x-1),则F(-x)=f(-x-1)=f(x+1).

在f(x)+f(2+x)=0中,将x换为x-1,得f(x-1)+f(1+x)=0,得f(x+1)=-f(x-1),即F(-x)=-f(x-1)=-F(x),则函数F(x)=f(x-1)为奇函数,所以选项C正确.

对于选项D,由题意不妨取满足条件的函数f(x)=cosx,则f(x-3)=cos(x-3)=cos=-sinx为奇函数,所以选项D错误.

15.解 (1)因为f(x)=ex-,且y=ex单调递增,y=-单调递增,所以f(x)单调递增.因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.

(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数,故f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立,即f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立,即x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立,所以t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立,即存在实数t使得恒成立.故存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.