高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测18《圆锥曲线中的最值范围证明问题》大题练（教师版）

这是一份高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测18《圆锥曲线中的最值范围证明问题》大题练（教师版），共7页。试卷主要包含了已知圆C，已知斜率为k的直线l与椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(\r(3),2))).
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若eq \(AF1,\s\up7(―→))＝λeq \(F1B,\s\up7(―→))，且2≤λ<3，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝|EF1|＋|EF2|，,a2＝b2＋c2，,c＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝1，,b＝\r(3)，))
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k>0)，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,k2)＋4))y2－eq \f(6,k)y－9＝0，Δ＝eq \f(144,k2)＋144>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq \f(6k,3＋4k2)，y1y2＝eq \f(－9k2,3＋4k2)，
又eq \(AF1,\s\up7(―→))＝λeq \(F1B,\s\up7(―→))，所以y1＝－λy2，所以y1y2＝eq \f(－λ,1－λ2)(y1＋y2)2，
则eq \f(1－λ2,λ)＝eq \f(4,3＋4k2)，λ＋eq \f(1,λ)－2＝eq \f(4,3＋4k2)，
因为2≤λ<3，所以eq \f(1,2)≤λ＋eq \f(1,λ)－2即eq \f(1,2)≤eq \f(4,3＋4k2)0，解得0故直线l的斜率k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),2))).
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为eq \r(3)，面积为3eq \r(3)的等腰梯形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．
解：(1)由已知条件，得b＝eq \r(3)，且eq \f(2a＋2c,2)×eq \r(3)＝3eq \r(3)，
∴a＋c＝3.
又a2－c2＝3，∴a＝2，c＝1，∴椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)显然直线的斜率不能为0，
设直线的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my－1，))消去x得，(3m2＋4)y2－6my－9＝0.
∵直线过椭圆内的点，∴无论m为何值，直线和椭圆总相交．
∴y1＋y2＝eq \f(6m,3m2＋4)，y1y2＝－eq \f(9,3m2＋4).
∴S△F2AB＝eq \f(1,2)|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|
＝eq \r(y1＋y22－4y1y2)＝12eq \r(\f(m2＋1,3m2＋42))
＝4eq \r(\f(m2＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m2＋1＋\f(1,3)))2))＝4eq \r(\f(1,m2＋1＋\f(2,3)＋\f(1,9m2＋1)))，
令t＝m2＋1≥1，设f(t)＝t＋eq \f(1,9t)，易知t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))时，函数f(t)单调递减，t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))时，函数f(t)单调递增，
∴当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，f(t)取得最小值，f(t)min＝eq \f(10,9)，此时S△F2AB取得最大值3.
3．已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p>0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为eq \r(17).
(1)求抛物线E的方程；
(2)不过原点O的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程．
解：(1)x2＋y2＋2x－2y＋1＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，则圆心C的坐标为(－1,1)．
∵Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，∴|CF|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋1))2＋0－12)＝eq \r(17)，
解得p＝6.
∴抛物线E的方程为y2＝12x.
(2)显然直线l的斜率非零，设直线l的方程为x＝my＋t(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝12x，,x＝my＋t，))得y2－12my－12t＝0，
Δ＝(－12m)2＋48t＝48(3m2＋t)>0，
∴y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t，
由OA⊥OB，得eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，
即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，
整理可得t2－12t＝0，∵t≠0，∴t＝12，满足Δ>0，符合题意．
∴直线l的方程为x＝my＋12，故直线l过定点P(12,0)．
∴当CP⊥l，即线段MP经过圆心C(－1,1)时，动点M到动直线l的距离取得最大值，
此时kCP＝eq \f(1－0,－1－12)＝－eq \f(1,13)，得m＝eq \f(1,13)，
此时直线l的方程为x＝eq \f(1,13)y＋12，即13x－y－156＝0.
4．已知斜率为k的直线l与椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．
(1)证明：k<－eq \f(1,2)；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且eq \(FP,\s\up7(―→))＋eq \(FA,\s\up7(―→))＋eq \(FB,\s\up7(―→))＝0.证明：|eq \(FA,\s\up7(―→))|，|eq \(FP,\s\up7(―→))|，|eq \(FB,\s\up7(―→))|成等差数列，并求该数列的公差．
证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \f(x\\al(2,1),4)＋eq \f(y\\al(2,1),3)＝1，eq \f(x\\al(2,2),4)＋eq \f(y\\al(2,2),3)＝1.
两式相减，并由eq \f(y1－y2,x1－x2)＝k得eq \f(x1＋x2,4)＋eq \f(y1＋y2,3)·k＝0.
由题设知eq \f(x1＋x2,2)＝1，eq \f(y1＋y2,2)＝m，于是k＝－eq \f(3,4m).①
由题设得0(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，
则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．
由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，
y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.
又点P在C上，所以m＝eq \f(3,4)，
从而Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，|eq \(FP,\s\up7(―→))|＝eq \f(3,2)，
于是|eq \(FA,\s\up7(―→))|＝eq \r(x1－12＋y\\al(2,1))＝eq \r(x1－12＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,1),4))))＝2－eq \f(x1,2).
同理|eq \(FB,\s\up7(―→))|＝2－eq \f(x2,2).所以|eq \(FA,\s\up7(―→))|＋|eq \(FB,\s\up7(―→))|＝4－eq \f(1,2)(x1＋x2)＝3.
故2|eq \(FP,\s\up7(―→))|＝|eq \(FA,\s\up7(―→))|＋|eq \(FB,\s\up7(―→))|，即|eq \(FA,\s\up7(―→))|，|eq \(FP,\s\up7(―→))|，|eq \(FB,\s\up7(―→))|成等差数列．
设该数列的公差为d，
则2|d|＝||eq \(FB,\s\up7(―→))|－|eq \(FA,\s\up7(―→))||＝eq \f(1,2)|x1－x2|＝eq \f(1,2)eq \r(x1＋x22－4x1x2).②
将m＝eq \f(3,4)代入①得k＝－1，所以l的方程为y＝－x＋eq \f(7,4)，
代入C的方程，并整理得7x2－14x＋eq \f(1,4)＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝eq \f(1,28)，代入②解得|d|＝eq \f(3\r(21),28).
所以该数列的公差为eq \f(3\r(21),28)或－eq \f(3\r(21),28).
B卷——深化提能练
1．已知椭圆Ω：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0且a，b2均为整数)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(\r(6),2)))，且右顶点到直线l：x＝4的距离为2.
(1)求椭圆Ω的方程；
(2)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与椭圆Ω交于点A，B，l2与椭圆Ω交于点C，D.求四边形ACBD面积的最小值．
解：(1)由题意，得eq \f(2,a2)＋eq \f(3,2b2)＝1，且|4－a|＝2，若a＝2，则b2＝3；若a＝6，则b2＝eq \f(27,17)(舍去)，所以椭圆Ω的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由(1)知，点F的坐标为(1,0)．
当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，可得|AB|＝4，|CD|＝3或者|AB|＝3，|CD|＝4，此时四边形ACBD的面积S＝eq \f(1,2)×4×3＝6.
当l1，l2的斜率均存在时，设直线l1的斜率为k，则k≠0，且直线l2的斜率为－eq \f(1,k).
直线l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq \f(1,k)(x－1)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
由直线l1过椭圆内的点，知Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq \f(4k2－12,3＋4k2).
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8k2,3＋4k2)))2－4×\f(4k2－12,3＋4k2))＝eq \f(12k2＋1,3＋4k2).
以－eq \f(1,k)代替k，得|CD|＝eq \f(12k2＋1,4＋3k2).
所以四边形ACBD的面积S＝eq \f(1,2)|AB|·|CD|
＝eq \f(72k2＋12,3＋4k24＋3k2)≥eq \f(72k2＋12,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3＋4k2＋4＋3k2,2)))2)＝eq \f(72k2＋12,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7k2＋1,2)))2)＝eq \f(288,49)，
当且仅当k2＝1，即k＝±1时等号成立．
由于eq \f(288,49)<6，所以四边形ACBD面积的最小值为eq \f(288,49).
2．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，定义椭圆C的“相关圆”方程为x2＋y2＝eq \f(a2b2,a2＋b2).若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．
(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；
(2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．证明：∠AOB为定值．
解：(1)因为抛物线y2＝4x的焦点(1,0)与椭圆C的一个焦点重合，所以c＝1.
又椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b＝c＝1，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，“相关圆”E的方程为x2＋y2＝eq \f(2,3).
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB的方程为x＝eq \f(\r(6),3)，
Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，\f(\r(6),3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，－\f(\r(6),3)))，则∠AOB＝eq \f(π,2).
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得x2＋2(kx＋m)2＝2，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)>0，即2k2－m2＋1>0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(4km,1＋2k2)，,x1x2＝\f(2m2－2,1＋2k2).))
因为直线l与“相关圆”E相切，所以eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \r(\f(m2,1＋k2))＝eq \r(\f(2,3))，即3m2＝2＋2k2，
所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq \f(1＋k22m2－2,1＋2k2)－eq \f(4k2m2,1＋2k2)＋m2
＝eq \f(3m2－2k2－2,1＋2k2)＝0，所以eq \(OA,\s\up7(―→))⊥eq \(OB,\s\up7(―→))，所以∠AOB＝eq \f(π,2).
综上，∠AOB＝eq \f(π,2)，为定值．
3．已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b≥1)的离心率为eq \f(\r(2),2)，其右焦点到直线2ax＋by－eq \r(2)＝0的距离为eq \f(\r(2),3).
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,3)))的直线l交椭圆C1于A，B两点．证明：以AB为直径的圆恒过定点．
解：(1)由题意，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，e2＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,2)，a2＝2b2.所以a＝eq \r(2)b，c＝b.
又eq \f(|2ac－\r(2)|,\r(4a2＋b2))＝eq \f(\r(2),3)，a>b≥1，所以b＝1，a2＝2，
故椭圆C1的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)证明：当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,3)))2＝eq \f(16,9)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1，,x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,3)))2＝\f(16,9)，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))
由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0,1)．
下证Q(0,1)符合题意．
当AB不垂直于坐标轴时，设直线AB方程为y＝kx－eq \f(1,3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝kx－\f(1,3)，))得(1＋2k2)x2－eq \f(4,3)kx－eq \f(16,9)＝0，
由根与系数的关系得，x1＋x2＝eq \f(4k,31＋2k2)，
x1x2＝－eq \f(16,91＋2k2)，
∴eq \(QA,\s\up7(―→))·eq \(QB,\s\up7(―→))＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)
＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
＝x1x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx1－\f(4,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx2－\f(4,3)))
＝(1＋k2)x1x2－eq \f(4,3)k(x1＋x2)＋eq \f(16,9)
＝(1＋k2)eq \f(－16,91＋2k2)－eq \f(4,3)k·eq \f(4k,31＋2k2)＋eq \f(16,9)
＝eq \f(－16－16k2－16k2＋161＋2k2,91＋2k2)＝0，
故eq \(QA,\s\up7(―→))⊥eq \(QB,\s\up7(―→))，即Q(0,1)在以AB为直径的圆上．
综上，以AB为直径的圆恒过定点(0,1)．
4．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．
(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)若k＝eq \f(\r(2),4)，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．
解：(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.所以椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(\r(2),4)x，))得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b2＋\f(1,8)a2))x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
所以x1＋x2＝0，x1x2＝eq \f(－a2b2,b2＋\f(1,8)a2)，
由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，
因为eq \(F2A,\s\up7(―→))＝(x1－3，y1)，eq \(F2B,\s\up7(―→))＝(x2－3，y2)，
所以eq \(F2A,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,8)))x1x2＋9＝0.
即x1x2＝－8，所以有eq \f(－a2b2,b2＋\f(1,8)a2)＝－8，结合b2＋9＝a2，解得a2＝12，
所以离心率e＝eq \f(\r(3),2).
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1，
由题可知A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝eq \f(y0－y1,x0－x1)，k2＝eq \f(y0＋y1,x0＋x1)，所以k1k2＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))，
又eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))＝eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),12)))－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,1),12))),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))＝－eq \f(1,4)，即k2＝－eq \f(1,4k1)，
由－2即直线PB的斜率k2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(1,4))).