2022年高考数学(理数)一轮复习课时作业09《对数与对数函数》（教师版）

课时作业9　对数与对数函数

一、选择题

1．函数y＝的定义域是(　C　)

A．[1,2]          B．[1,2)        C.[,+∞)          D.(,+∞)

解析：由即解得x≥.

2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　A　)

A．log2x          B.          C．Log0.5x          D．2x－2

解析：由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.

3．函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(　C　)

解析：由f(2)＝2a＝4，得a＝2.所以g(x)＝|log2(x＋1)|，

则g(x)的图象由y＝|log2x|的图象向左平移一个单位得到，C满足．

4．若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则(　D　)

A．b>c>a          B．b>a>c       C．c>a>b          D．a>b>c

解析：依题意，得a>1,0<b＝logπ3<logππ＝1，而由0<sin

<1,2>1，得c<0，故a>b>c，故选D.

5．若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　A　)

A．[1,2)          B．[1,2]      C．[1，＋∞)          D．[2，＋∞)

解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．

6．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　D　)

A．c>b>a          B．b>c>a        C．a>c>b          D．a>b>c

解析：因为a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，

c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D.

7．20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的(　D　)

A．10倍          B．20倍       C．50倍          D．100倍

解析：根据题意有lgA＝lgA0＋lg10M＝lg(A0·10M)，所以A＝A0·10M，则＝100.

故选D.

二、填空题

8．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1.则a＝－7.

解析：由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.

9．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(0,)∪(1，＋∞)．

解析：若a>1，则loga<0，不等式loga<1一定成立；若0<a<1，则loga<1＝logaa，

根据对数函数性质可得a<，又a>0，故0<a<.所以a的取值范围是(0,)∪(1，＋∞)．

10．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是13.

解析：由f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，得f(x2)＝2＋log3x2，x2∈[1,9]，即x∈[1,3]，

得函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2，

即y＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3，令log3x＝t,0≤t≤1，则y＝(t＋3)2－3，

当t＝log3x＝1，即x＝3时，ymax＝13.

三、解答题

11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log0.5x.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log0.5(－x)．

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝

(2)因为f(4)＝log0.54＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－<x<.

即不等式的解集为(－，)．

12．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间[0，]上的值域．

解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，

∴a＝2.由得x∈(－1,3)，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.

又f(0)＝log23，f()＝log2，log23<log2，

∴函数f(x)在[0，]上的最小值是f(0)＝log23.

故函数f(x)在区间[0，]上的值域为[log23,2]．

13．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　B　)

A．a＋b<ab<0       B．ab<a＋b<0       C．a＋b<0<ab       D．ab<0<a＋b

解析：由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，

所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0<＋<1，得0<<1.

又a>0，b<0，所以ab<0，所以ab<a＋b<0.

14．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　C　)

A．f(log27)<f(－5)<f(6)        B．f(log27)<f(6)<f(－5)

C．f(－5)<f(log27)<f(6)        D．f(－5)<f(6)<f(log27)

解析：f(x＋2)＋f(x)＝0⇒f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是周期为4的周期函数．又f(－x)＝－f(x)，且有f(2)＝－f(0)＝0，

所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0.

又2<log27<3，所以0<log27－2<1，即0<log2<1，

f(log27)＋f(log27－2)＝0⇒f(log27)＝－f(log27－2)

＝－f(log2)＝－log2(log2＋1)＝－log2(log2)，

又1<log2<2，所以0<log2(log2)<1，所以－1<－log2(log2)<0，

所以f(－5)<f(log27)<f(6)．

15．若A(a，b)，B(e，c)(其中e为自然对数的底数)是f(x)＝lnx图象上不同的两点，则下列各点一定在f(x)图象上的是(　A　)

A．(ae，b＋1)          B．(a＋e，b＋1)

C．(a＋e，b)            D．(ae，b)

解析：∵A(a，b)，B(e，c)是f(x)＝lnx图象上不同的两个点，

∴lna＝b，lne＝1＝c，∴b＋1＝b＋c＝lna＋lne＝ln(ae)，

∴(ae，b＋1)在f(x)图象上，故选A.

16．已知π为圆周率，e＝2.718 28…为自然对数的底数，则(　B　)

A．πe<3e      B．πlog3e>3logπe    C．3e－2π<3πe－2      D．logπe>log3e

解析：对于A，∵函数y＝xe是(0，＋∞)上的增函数，且π>3，∴πe>3e，A错误；

对于B，πlog3e>3logπe⇔>⇔πlnπ>3ln3⇔ππ>33，B正确；

对于C,3e－2π<3πe－2⇔3e－3<πe－3，而函数y＝xe－3是(0，＋∞)上的减函数，C错误；

对于D，logπe>log3e⇔>⇔lnπ<ln3，而函数y＝lnx是(0，＋∞)上的增函数，D错误．综上，故选B.