3.1~3.2 综合拔高练-2022版数学必修1 人教版（新课标） 同步练习 （Word含解析）

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第三章　函数的应用
3.1~3.2综合拔高练
五年高考练
考点1　函数零点及其应用
1.(2018课标全国Ⅰ,9,5分,)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
2.(2020天津,9,5分,)已知函数f(x)=x3,x≥0,-x,x<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是 (　　)
A.-∞,-12∪22,+∞
B.-∞,-12∪(0,22)
C.(-∞,0)∪(0,22)
D.(-∞,0)∪(22,+∞)
3.(2018天津,14,5分,)已知a>0,函数f(x)=x2+2ax+a,x≤0,-x2+2ax-2a,x>0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是　　　　. 
4.(2018浙江,15,6分,)已知λ∈R,函数f(x)=x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是　　　　.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是　　　　　　　　.  
考点2　函数模型的综合运用
5.(2020北京,15,5分,)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在t3时刻,甲,乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是　　　　. 
6.(2018上海,19,14分,)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S 中x%(0 (1)当x在什么范围时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.










强基计划
7.(2018清华大学自招试题,1,)已知定义在R上的函数f(x)=2x+a,x≤0,ln(x+a),x>0.若方程f(x)=12有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 (　　)
A.-12≤a<12 B.0≤a<12
C.0≤a<1 D.-12 三年模拟练

1.(2020江西南昌豫章中学高一月考,)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD=DC=2,CB=2,动点P从点A出发,由A→D→C→B沿边运动,点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x,△APQ的面积为y,则y=f(x)的图象大致是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2.(2020山东枣庄高一月考,)已知函数f(x)=x2-6x+1,x≥0,12x+1,x<0,若g(x)=f(x)-a恰好有3个零点,则a的取值范围为 (　　)
A.[0,1] B.(0,1) C.12,1 D.12,1

3.(2020湖北襄阳襄州一中月考,)如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计),设输液开始x min后,瓶内液面与进气管的距离为h cm,已知当x=0时,h=13.如果瓶内的药液恰好156 min滴完,则函数h=f(x)的图象为 (　　)

4.(2020安徽芜湖二中高二月考,)已知函数f(x)=log4x+x-3(x>0),x-14x+3(x≤0),若f(x)的两个零点分别为x1,x2,则|x1-x2|= (　　)
A.3-ln 2 B.3ln 2 C.22 D.3
5.(2020天津静海高一期末,)某新能源汽车公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2018年全年投入研发资金5 300万元,在此基础上,以后每年投入的研发资金比上一年增长8%,则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是　　　　年.(参考数据:lg 1.08≈0.033,lg 5.3≈0.724,lg 7≈0.845) 
6.(2020山东日照高一期末校际联考,)设x1,x2分别是函数f(x)=x-a-x和g(x)=xlogax-1的零点(其中a>1),则x1+100x2的取值范围是　　　　. 
7.(2019湖北武汉外国语学校高一上期中,)已知f(x)=a-12x+1是R上的奇函数.
(1)求a;
(2)判断f(x)的单调性(不要求证明),并求f(x)的值域;
(3)设关于x的函数F(x)=f((log2x)2-b)+f(log12x),x∈12,2有两个零点,求实数b的取值范围.







8.(2020福建龙岩六校高一上期中联考,)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是关于养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当养殖密度x不超过4尾/立方米时,v为2千克/年;当4 (1)当0 (2)当养殖密度x为多大时,该种鱼的年生长量f(x)(单位:千克/立方米)可以达到最大?最大为多少?(年生长量=每尾鱼的平均生长速度×养殖密度)















答案全解全析
第三章　函数的应用
3.1~3.2综合拔高练
五年高考练
1.C
2.D
7.B


1.C　函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于方程f(x)=-x-a有2个不同的解,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点.分别作出函数f(x)的图象与直线y=-x-a,如图.

由图可知,当-a≤1,即a≥-1时,函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个不同的交点,即函数g(x)存在2个零点.
2.D　注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点,只需方程|kx-2|=f(x)|x|恰有3个实数根即可.
令h(x)=f(x)|x|,则y=|kx-2|与h(x)=f(x)|x|的图象有3个交点.
其中h(x)=f(x)|x|=x2,x>0,1,x<0.
当k=0时,y=2,如图1,y=2与h(x)=f(x)|x|有1个交点,不满足题意;

当k<0时,如图2,此时y=|kx-2|与h(x)=f(x)|x|的图象恒有3个交点,满足题意;

当k>0时,如图3,

当y=kx-2与y=x2相切时,联立方程,得x2-kx+2=0,
令Δ=0,得k2-8=0,解得k=22(负值舍去),所以k>22时,y=|kx-2|与h(x)=f(x)|x|的图象有3个交点,满足题意.
综上,k的取值范围为(-∞,0)∪(22,+∞).故选D.
3.答案　(4,8)
解析　设g(x)=f(x)-ax
=x2+ax+a,x≤0,-x2+ax-2a,x>0,
方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,即函数y=g(x)有2个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况.
情况一:

则Δ1=a2-4a>0,Δ2=a2-8a<0,∴4 情况二:

则Δ1=a2-4a<0,Δ2=a2-8a>0,不等式组无解.
综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).
4.答案　(1,4);(1,3]∪(4,+∞)
解析　当λ=2时,函数f(x)的图象如图所示,f(x)<0的解集为(1,4).

当λ≤1时,f(x)只有1个零点为4;
当1<λ≤3时,f(x)有2个零点为1和4;
当3<λ≤4时,f(x)有3个零点为1,3和4;
当λ>4时,f(x)有2个零点为1和3.
故当1<λ≤3或λ>4时,f(x)有2个零点.
5.答案　①②③
信息提取　①污水排放量W与时间t的关系为W=f(t);②用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱;③甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系图象;④给定四个待判定的结论.
数学建模　以污水的排放与治理为情境,构建污水排放量W与时间t的关系,结合给定的图象信息以及评判标准对给出的结论进行推理判断.
解析　设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g(t).
对于①,在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力为-f(t2)-f(t1)t2-t1,
乙企业的污水治理能力为-g(t2)-g(t1)t2-t1.
由题图可知,f(t1)-f(t2)>g(t1)-g(t2),
∴-f(t2)-f(t1)t2-t1>-g(t2)-g(t1)t2-t1,
即甲企业的污水治理能力比乙企业强,故①正确;
对于②,由题图可知,f(t)在t2时刻的减小速度比g(t)在t2时刻的减小速度快,
∴在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故②正确;
对于③,在t3时刻,甲,乙两企业的污水排放量都小于污水达标排放量,
∴在t3时刻,甲,乙两企业的污水排放都已达标,故③正确;
对于④,由题图可知,甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t1,t2]的污水治理能力最强,故④错误.
∴正确结论的序号是①②③.
6.解析　(1)由题意知,当30 f(x)=2x+1800x-90,根据题意,令2x+1800x-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20(舍)或x>45,
∴当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当0 当30 ∴g(x)=40-x10,0 当0 当32.5 说明该地上班族S有小于32.5% 的人自驾时,人均通勤时间是递减的;
有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;
当自驾人数为32.5% 时, 人均通勤时间最少.
7.B　当x≤0时,a 若a>0,则当x>0时, f(x)=ln(x+a)>ln a,
f(x)的大致图象如图1所示,

图1
若方程f(x)=12有两个不相等的实数根,
则由图1,得a<12≤1+a,lna<12⇒a<12,a≥-12,a 解得0 若a≤0,则当x>0时, f(x)=ln(x+a)∈R,此时f(x)=12有一个解.
f(x)的大致图象如图2所示.

图2
由图2知,只有当a=0时,函数的定义域才为R,所以a=0.
综上所述,0≤a<12,故选B.
三年模拟练
1.D
2.D
3.A
4.D

1.D　易知∠DAB=45°,当P点在AD上运动时,△APQ是等腰直角三角形,此时f(x)=12·22x·22x=14x2(0 2.D　g(x)=f(x)-a恰好有3个零点,等价于方程f(x)=a有3个根,等价于函数y=f(x)与y=a的图象有3个交点.
如图所示,画出函数y=f(x),y=a的图象,

由图可知,当12 即当12 3.A　由题图知,开始输液时,瓶内药液容积为π×822×9+π×422×3=156π(cm3).因为瓶内药液恰好156 min滴完,所以每分钟滴下π cm3药液.
当4≤h≤13时,xπ=π×42×(13-h),即h=13-x16,此时0≤x≤144;
当1≤h<4时,xπ=π×42×9+π×22×(4-h),即h=40-x4,此时144 故函数h=f(x)单调递减,且当144 4.D　当x>0时,令f(x)=0,得log4x=3-x,作出函数y=log4x与y=3-x的图象,设交点为A(x1,y1),当x≤0时,令f(x)=0,得14x=x+3,作出函数y=14x与y=x+3的图象,设交点为B(x2,y2),显然x1>0>x2.作出函数y=4x(x>0)的图象,设它与直线y=3-x交于点C(x3,y3).

∵y=14x与y=4x的图象关于y轴对称,
y=x+3与y=3-x的图象关于y轴对称,
∴B,C两点关于y轴对称,
∴x3=-x2.
∵y=4x与y=log4x互为反函数,
∴y=4x与y=log4x的图象关于直线y=x对称,
又直线y=3-x关于直线y=x对称,
∴A,C两点关于直线y=x对称,
∴x3=y1,y3=x1,
∴x2=-y1,
∴|x1-x2|=x1-x2=x1+y1,
又A(x1,y1)在直线y=3-x上,
∴x1+y1=3.
5.答案　2022
解析　设第n年开始超过7 000万元,则5 300×(1+8%)n-2018>7 000,
整理,得(n-2 018)lg 1.08>lg 7-lg 5.3,
则n-2 018>0.845-0.7240.033≈3.7,
所以n=2 022.因此开始超过7 000万元的年份是2022年.
6.答案　(101,+∞)
解析　由已知得1x1=ax1,1x2=logax2,
因为当a>1时,y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,y=1x的图象关于直线y=x对称,
所以点x1,1x1与点(x2,logax2)关于直线y=x对称,
所以1x1=x2,且01,
设y=x1+100x2=x1+100x1,则y=x1+100x1在(0,1)上单调递减,所以y>1+1001=101,
故x1+100x2的取值范围是(101,+∞).
7.解析　(1)由题意得f(0)=0,得a=12,此时f(x)=12-12x+1=12·2x-12x+1,满足f(-x)=-f(x),即满足f(x)在R上是奇函数.
(2)f(x)是R上的增函数.
∵2x+1>1,∴0<12x+1<1,∴-12<12-12x+1<12,∴f(x)的值域为-12,12.
(3)令F(x)=0,得f((log2x)2-b)=-f(log12x)=f(-log12x)=f(log2x),由(2)知f(x)是R上的增函数,
∴(log2x)2-b=log2x,
即b=(log2x)2-log2x,
令log2x=t,∵x∈12,2,∴t∈[-1,1],
∴问题转化为b=t2-t在t∈[-1,1]上有两个不相等的实数根,即函数y=t2-t的图象与直线y=b有两个不同的交点,作出函数的图象如图所示,由图象可知,实数b的取值范围为-14,0.

8.解析　(1)由题意得,当0 当4 由已知得20a+b=0,4a+b=2,解得a=-18,b=52,
所以v=-18x+52.
故v=2,0 (2)依题意及(1),可得
f(x)=2x,0 当0 故f(x)max=f(4)=4×2=8;
当4 所以f(x)max=f(10)=252=12.5.
因为8<12.5,所以当0 所以当养殖密度x为10尾/立方米时,该种鱼的年生长量f(x)可以达到最大,最大为12.5千克/立方米.