苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示达标测试

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示达标测试，共14页。试卷主要包含了2　空间向量的坐标表示，有以下命题等内容，欢迎下载使用。

6.2.1 空间向量基本定理
基础过关练
题组一 空间向量的基向量
1.(多选)(2021江苏泰州中学高二月考)已知A,B,C,D,E是空间五点,且任意三点不共线.若AB,AC,AD与AB,AC,AE均不能构成空间的一个基底,则下列结论中正确的有( )

A.AB,AD,AE不能构成空间的一个基底
B.AC,AD,AE不能构成空间的一个基底
C.BC,CD,DE不能构成空间的一个基底
D.AB,CD,EA能构成空间的一个基底
2.(2021江苏南通如皋中学高二期中)有以下命题:
①如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,那么a,b不共线;
②O,A,B,C为空间四点,且向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底,则点O,A,B,C一定共面;
③已知{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,a-b,c}也是空间的一个基底.
其中正确的命题是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
题组二 用基底表示向量
3.(2021江苏常州中学高二期中)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量BA,BD,BC表示向量EG,则EG=( )
A.-12BA+12BD+12BCB.12BA+12BD+12BC
C.12BA-12BD+12BCD.12BA-12BD-12BC
4.(2021陕西西安长安一中高二期末)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M是棱CC1的中点,连接B1M,BC1交于点P,则( )
A.AP=23AB+23AD+AA1B.AP=AB+23AD+23AA1
C.AP=23AB+AD+23AA1D.AP=AB+12AD+12AA1
5.(多选)(2021山东博兴第三中学高二上月考)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且ON=23OM,AP=3PN,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列等式成立的是( )
A.OM=12b-12c
B.AN=13b+13c-a
C.AP=14b-14c-34a
D.OP=14a+14b+14c
6.
(2021江苏无锡高二期末)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是CC1的中点,A1F=13A1B,DF=αAB+βAC+γAA1,则α+β+γ= .
题组三 空间向量基本定理的应用
7.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,
平行六面体的各棱长均相等.给出下列四个结论:
①A1M∥D1P;
②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面DCC1D1;
④A1M∥平面D1PQB1.
其中正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
8.(2021江苏泰州高二期末)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都为2,若AA1=a,AB=b,AC=c,且∠BAA1=∠CAA1=60°,则AB1·BC1的值为 .
9.(2021江苏淮安高二月考)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=AB=1,∠A1AB=∠DAB=∠DAA1=60°,A1C1=3NC1,D1B=4MB,设AB=a,AD=b,AA1=c.
(1)试用a,b,c表示MN;
(2)求MN的长度.
能力提升练
题组一 用基底表示向量
1.(2020安徽淮北一中高二上期中,)已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设OA=a,OB=b,OC=c,则OP=( )

A.16a+16b+16cB.13a+13b+13c
C.16a+13b+13cD.13a+16b+16c
2.(2020广东深圳实验学校高二上期中,)如图,在三棱锥O-ABC中,G是底面△ABC的重心(三条中线的交点),P是空间中任意一点.
(1)用向量OA,OB,OC表示向量OG,并证明你的结论;
(2)设OP=xOA+yOB+zOC,x,y,z∈R,请写出点P在底面△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明).
题组二 空间向量基本定理的应用
3.(2021浙江温州高二月考,)如图,已知正四面体ABCD中,E为棱CD的中点,F为棱BC上的动点,则cs∠EAF的最大值为( )
A.23B.63C.73D.33
4.(2020安徽合肥一六八中学高二月考,)如图,在三棱锥D-ABC中,已知AB=2,AC·BD=-3,设AD=a,BC=b,CD=c,则c2ab+1的最小值为 .
5.()已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)求证:BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间中任一点O,有OM=14(OA+OB+OC+OD).
6.(2021江苏南通高三期中,)如图,在三棱锥P-ABC中,点G为底面△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交棱PA,PB,PC于点D,E,F,若PD=mPA,PE=nPB,PF=tPC,求证:1m+1n+1t为定值.
答案全解全析
第6章 空间向量与立体几何
6.2 空间向量的坐标表示
6.2.1 空间向量基本定理
基础过关练
1.ABC 由题意可得空间五点A,B,C,D,E共面,所以以这五点中的任意两个点为起点、终点的三个向量都不可能构成空间的一个基底,所以A、B、C正确,D错误.故选ABC.
2.C ①如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,那么a,b必共线,所以①不正确;
②因为向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底,所以向量OA,OB,OC共面,所以点O,A,B,C一定共面,所以②正确;
③假设向量a+b,a-b,c共面,不妨设x(a+b)+y(a-b)+zc=0,则(x+y)a+(x-y)b+zc=0,因为a,b,c是空间的一个基底,所以a,b,c不共面,所以x+y=0,x-y=0,z=0,解得x=y=z=0,
所以假设不成立,即向量a+b,a-b,c不共面,可以作为空间的一个基底,③正确.
故选C.
3.A 因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,所以EB=12AB=-12BA,BF=12BC,FG=12BD,所以EG=EB+BF+FG=-12BA+12BC+12BD,故选A.
4.B 因为BB1∥C1M,
所以△BPB1∽△C1PM.
因为点M是棱CC1的中点,所以BPC1P=BB1C1M=2,所以AP=AB+BP=AB+23BC1=AB+23(BC+BB1)=AB+23AD+23AA1.故选B.
规律总结
用基底表示向量的策略:(1)若基底确定,则利用向量的运算法则和运算律表示向量;(2)若基底不确定,则首先选择基底,选择基底时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,然后看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
5.BD 对于A,利用向量的平行四边形法则,得OM=12OB+12OC=12b+12c,A错误;
对于B,利用向量的三角形法则,得
AN=ON-OA=23OM-OA=13b+13c-a,B正确;
对于C,因为AP=3PN,所以AP=34AN=3413b+13c-a=14b+14c-34a,C错误;
对于D,OP=OA+AP=a+14b+14c-34a=14a+14b+14c,D正确.
故选BD.
6.答案 -12
解析 因为A1F=13A1B,所以DF=DC1+C1A1+A1F=12CC1-AC+13A1B=12AA1-AC+13A1B1+13A1A=12AA1-AC+13AB-13AA1=13AB-AC+16AA1,又DF=αAB+βAC+γAA1,所以α=13,β=-1,γ=16,所以α+β+γ=-12.
7.C ∵A1M=A1A+AM=A1A+12AB,D1P=D1D+DP=A1A+12AB,∴A1M∥D1P,从而A1M∥D1P.∵D1P⊂平面DCC1D1,A1M⊄平面DCC1D1,∴A1M∥平面DCC1D1,同理,A1M∥平面D1PQB1,故①③④正确.又B1Q与D1P不平行,∴A1M与B1Q不平行,故②不正确.故选C.
8.答案 4
解析 根据题意,画出斜三棱柱ABC-A1B1C1,如图所示,
由题意得AB1=a+b,BC1=BC+CC1=AC-AB+CC1=a+c-b,所以AB1·BC1=(a+b)·(a+c-b)=a2+a·c+b·c-b2=|a|2+|a||c|·cs∠CAA1+|b||c|cs∠BAC-|b|2=22+2×2×cs 60°+2×2×cs 60°-22=4.
9.解析 (1)连接BD,MN=MD1+D1A1+A1N
=-34D1B-AD+23A1C1
=-34(D1D+DB)-AD+23(AB+AD)
=34c-34(a-b)-b+23(a+b)
=-112a+512b+34c.
(2)由(1)得MN2=-112a+512b+34c2=1144a2+25144b2+916c2-2×112×512a·b-2×112×34a·c+2×512×34b·c=1144+25144+916-2×112×512×cs 60°-2×112×34×cs 60°+2×512×34×cs 60°=138144,
∴MN的长度为13812.
能力提升练
1.C 连接ON,∵MP=2PN,∴MP=2PN,即OP-OM=2(ON-OP),即3OP=OM+2ON=12a+b+c,∴OP=16a+13b+13c.故选C.
2.解析 (1)OG=13(OA+OB+OC).
证明如下:
OG=OA+AG=OA+23AD
=OA+23×12(AB+AC)
=OA+13[(OB-OA)+(OC-OA)]
=13(OA+OB+OC).
(2)若OP=xOA+yOB+zOC,x,y,z∈R,则点P在底面△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件是x+y+z=1,且03.C 设正四面体的棱长为1,且AB=a,AC=b,AD=c,
由E为棱CD的中点,可得AE=12(b+c),
则|AE|=12(b+c)2=12b2+2b·c+c2=32.
设BF=λBC,λ∈[0,1],可得AF=AB+λBC=a+λ(b-a)=(1-λ)a+λb,
则|AF|=[(1-λ)a+λb]2
=(1-λ)2a2+λ2b2+2(1-λ)λa·b
=λ2-λ+1,
则AE·AF=12(b+c)·[(1-λ)a+λb]=12[(1-λ)a·b+λb2+(1-λ)a·c+λb·c]=14(λ+2).
所以cs∠EAF=AE·AF|AE||AF|=14(λ+2)32·λ2-λ+1=123·λ+2λ2-λ+1.
令t=λ+2,则t∈[2,3],可得1t∈13,12,则λ+2λ2-λ+1=tt2-5t+7=17t2-5t+1.
设g1t=7t2-5t+1,1t∈13,12,当1t=514时,函数g1t取得最小值,最小值为g514=328.
所以17t2-5t+1的最大值为273,所以123·λ+2λ2-λ+1≤123×273=73,即cs∠EAF的最大值为73.故选C.
4.答案 2
解析 设CA=x,CB=y,CD=z,则{x,y,z}是空间的一个基底,
AB2=(y-x)2=y2-2y·x+x2=b2-2y·x+x2=4①,
AC·BD=(-x)·(z-y)=x·y-x·z=-3②,
AD2=(z-x)2=z2-2z·x+x2=c2-2z·x+x2=a2③,
①-③得b2-c2-2y·x+2z·x=4-a2④,
将②代入④得b2-c2+6=4-a2,
化简得c2=a2+b2+2,∴c2ab+1=a2+b2+2ab+1≥2ab+2ab+1=2(当且仅当a=b时取等号),即c2ab+1的最小值为2.
5.证明 (1)连接BG,
则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,
由空间向量基本定理,知E,F,G,H四点共面.
(2)∵E,H分别是边AB,DA的中点,即EH为△ABD的中位线,∴EH∥BD,
又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,
∴BD∥平面EFGH.
(3)易知EH=12BD,FG=12BD,
∴EH=FG,即四边形EFGH是平行四边形.
∴M为EG,FH的中点.
在空间中任取一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,如图所示.
∴OM=12(OE+OG)=12OE+12OG,
OE=12(OA+OB),OG=12(OC+OD),
∴OM=12×12(OA+OB)+12×12(OC+OD)=14(OA+OB+OC+OD).
6.证明 如图,连接AG并延长,交BC于点H,由题意,可令{PA,PB,PC}为空间的一个基底,
PM=34PG=34(PA+AG)=34PA+34×23AH=34PA+12×12(AB+AC)=34PA+14(PB-PA)+14(PC-PA)=14PA+14PB+14PC.
连接DM.因为点D,E,F,M共面,所以存在唯一的实数对(λ,μ),使DM=λDE+μDF,
即PM-PD=λ(PE-PD)+μ(PF-PD),
所以PM=(1-λ-μ)PD+λPE+μPF=(1-λ-μ)mPA+λnPB+μtPC.
由空间向量基本定理,知14=(1-λ-μ)m,14=λn,14=μt,
所以1m+1n+1t=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4,为定值.