专题20 圆（课件）

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1.圆的定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（如下图中的AB）．3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
4.直径：经过圆心的弦叫做直径（如上图中的CD）．直径等于半径的2倍．5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．6.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“ ”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．7.等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相重合的弧叫做等弧．8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
9.垂径定理及其推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．10.圆的对称性： （1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．
【例1】（2020•青海9/28）已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴ ， ，在Rt△OAE中， ，在Rt△OAE中， ，当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OF+OE=4+3=7 cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF-OE=4-3=1 cm；综上所述，AB与CD之间的距离为1 cm或7 cm．故答案为1或7．
【例2】（2020•宁夏12/26）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．
【解答】解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴ 尺=5寸，设半径OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r-1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2，解得：r=13，∴木材直径为26寸．故答案为：26．
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
【例3】（2020•海南10/22）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于（ ） A．54° B．56° C．64 D．66°
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠DAB=∠BCD=36°，∴∠ABD=∠ADB-∠DAB=90°-36°=54°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
【例4】（2020•福建9/25）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为 中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：如图，连接OA、OB、OD、OC，∵∠BDC=60°，∴∠BOC=2∠BDC=120°，∵AB=CD，∴∠AOB=∠DOC，∵A为 的中点，∴ ，∴∠AOB=∠AOD，∴ ，∴ ，故选：A．
1．点与圆的位置关系：（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆内⇔d＜r； ③点P在圆上⇔d＝r．（2）不在同一直线上的三点确定一个圆．
2．直线与圆的位置关系：（1）直线和圆有三种位置关系，具体如下：①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点．②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线．③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
（2）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： ①直线l与⊙O相交⇔dr；
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（4）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．（5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．（6）三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点．（7）三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
3．圆和圆的位置关系：（1）圆和圆的位置关系： ①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种． ②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种． ③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．（2）圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距．
（3）圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 ①两圆外离⇔d>R+r ②两圆外切⇔d=R+r ③两圆相交⇔R-rr） ⑤两圆内含⇔dr）（4）两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
【例5】（2020•陕西9/25）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ） A．55° B．65°C．60° D．75°
【解答】解：连接CD，∵∠A=50°，∴∠CDB=180°-∠A=130°，∵E是边BC的中点∴OD⊥BC，∴BD=CD，∴ ，故选：B．
【例6】（2020•河北14/26）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC=2∠A=130°，得∠A=65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′=180°-65°=115°．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
【例7】（2020•重庆A卷5/26）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=20°，则∠AOB的度数为（ ） A．40° B．50°C．60° D．70°
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴∠A=90°，∵∠B=20°，∴∠AOB=90°-20°=70°，故选：D．
【例8】（2020•青海10/28）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r= ．
【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理，得AB =5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C=90°，∴四边形EOFC是矩形，
根据切线长定理，得CE=CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE=CF=r，∴AF=AD=AC-FC=3-r，BE=BD=BC-CE=4-r，∵AD+BD=AB，∴3-r +4-r =5，解得r=1．则△ABC的内切圆半径r=1．故答案为：1．
【例9】（2020•通辽6/26）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
【考点】三角形的内切圆与内心；作图—基本作图【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．故选：B．【点评】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
1．弧长及扇形的面积：（1）半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式： ．（2）半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积公式： （l是扇形的弧长）．
2．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr．（1）圆锥的侧面积公式： （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）．（2）圆锥的全面积公式：S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2．
3．求阴影部分面积的几种常见方法：（1）公式法；（2）割补法；（3）拼凑法；（4）等积变形构造方程法；（5）去重法．
【例10】（2020•新疆兵团14/23）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°．若将扇形BAC剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为 ．
【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=2， ，则 ．则 ，则扇形的弧长是： ，设底面圆的半径是r，则 ，解得： ．故答案为： ．
【例11】（2020•河南15/23）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=2，则阴影部分周长的最小值为 ．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C=CD′，由题意得，∠COD =∠DOB =∠BOD′ =30°，∴∠COD′=90°，∴ ， 的长 ，∴阴影部分周长的最小值为 ．故答案为： ．
【例12】（2020•福建13/25）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为 ．（结果保留π）
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解： ，故答案为：4π．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积 （r是扇形的半径，l是扇形的弧长）．
【例13】（2020•重庆A卷16/26）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠DAB=∠DCB=90°，由勾股定理得， ，∴ ，∴图中的阴影部分的面积 ，故答案为：4-π．