专题09 分式方程（课件）

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1．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．2．解分式方程的一般方法：（1）解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； ②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．简称为一化，二解，三检验．
3．分式方程的特殊解法——换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
4．增根：使分式方程的最简公分母为0的根． （1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
【例1】下列各式中为分式方程的是（　　） A． B． C． D．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．A、 不是方程，故本选项错误；B、方程 的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；C、方程 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；D、方程 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误．故选B．【答案】B．
【例2】若分式方程　　　　　　　有增根，则这个增根是 ．
【分析】根据分式方程有增根，让最简公分母为0确定增根，得到x-1=0，求出x的值即x=1．【答案】x=1．
【例3】（2020•呼和浩特13/24）分式　 与　　　 的最简公分母是 ，方程 　　　　　的解是　　．　
【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解答】解：∵x2-2x=x(x-2)，∴分式 与 的最简公分母是x(x-2)；
方程 ，去分母得：2x2-8= x(x-2)，去括号得：2x2-8= x2-2x，移项合并得：x2+2x-8=0，变形得：(x-2) (x+4)=0，解得：x=2或x=-4，∵当x=2时，x(x-2)=0，当x=-4时，x(x-2)≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．
1．分式方程实际应用的基本思路：
2．方法：一审：审清题意，弄清已知量和未知量；二找：找出等量关系；三设：设未知数；四列：列出分式方程；五解：解这个方程；六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求（双检验）； 七答：写出答案．在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
【例4】（2020•兴安盟•呼伦贝尔9/26）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D．
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．【解答】解：设甲每天做x个零件，根据题意得： ，故选：A．【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
【例5】（2020•吉林17/26）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．
【分析】设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x+6)个零件，根据时间=总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．【解答】解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x+6)个零件，根据题意得： ，解得：x=12，经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，∴x+6=18．答：乙每小时做12个零件．