山东省临沂第十八中学2022届高三上学期期末学业水平检测数学试卷

第一学期期末学业水平检测

高三数学

本试卷6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；

2．作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；

3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。  

1．集合，集合，则（    ）

 A． B．  C． D．

2．已知是虚数单位，复数为纯虚数的充要条件是（    ）

 A． B． C． D．

3．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于分到分之间（满分分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第三组，……．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．则第七组的频数为（    ）

 A． B． C． D．

4．设函数的定义域为，满足，且．

则（    ）

 A． B． C． D．

5．在直角梯形中，，，，，为的中点，则（    ）

 A． B． C． D．

6．已知函数，则不等式的解集为（    ）

 A． B． C．  D．

7．三棱锥的底面是边长为的等边三角形，该三棱锥的所有顶点均在半径为 的球上，则三棱锥的体积最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知定义在上函数的图象是连续不断的，满足，，且在上单调递增，若，，，则（    ）

 A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．已知点为曲线的焦点，则曲线的方程可能为（    ）

 A．                     B．

 C． D．

10．在棱长为的正方体中，点在棱上，则下列结论正确的是（    ）

 A．直线与平面平行 

 B．平面截正方体所得的截面为三角形 

 C．异面直线与所成的角为

 D．的最小值为

11．对于函数（其中），下列结论正确的是（    ）

 A．若，，则的最小值为；

 B．若，则函数的图象向右平移个单位可以得到函数的图象；

 C．若，则函数在区间上单调递增；

 D．若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则．

12．如图，是以为直径的圆上一段圆弧，是以 为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线．则下述正确的是（    ）

 A．曲线与轴围成的面积等于；          

B．曲线上有个整点（横纵坐标均为整数的点）；            

  C．所在圆的方程为：；            

D．与的公切线方程为：．

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是          ．

14．已知等比数列的前项和为，．若，则           ．

15．（第一空2分，第二空3分）若二项式的展开式中所有项的系数和为，则：（1）             ；（2）该二项式展开式中含有项的系数为              ．

16．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”．离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”的左右顶点分别为，“优美椭圆”上动点（异于椭圆的左右顶点），设直线的斜率分别为，则         ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知数列，满足：，，．

（1）证明：数列为等差数列，数列为等比数列；

（2）记数列的前项和为，求及使得的的取值范围．

18．（12分）

在中，内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，求取最小值时的面积．

19．（12分）

如图，在三棱台中，，分别为上的点，

平面平面，．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求二面角的大小．

20．（12分）

有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如下：

（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？并说明理由；

（2）某课外实习作业小组调查了名职场人士，就选择这两家公司的意愿做了统计，得到以下数据分布：

若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的的观测值为，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择 意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？

参考公式：

21．（12分）

已知函数．

（1）证明：；

（2）数列满足：，．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）证明：，．

22．（12分）

已知椭圆的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为、，点满足：．已知直线与椭圆相交于两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线过点，且，求直线的方程；

（3）若直线与曲线相切于点，且中点的横坐标等于．

证明：符合题意的点有两个，并任求出其中一个的坐标．

第一学期期末学业水平检测高三数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。  

18：D C A B   A D C D      

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9. AD;          10. ACD;          11. AD;       12. BCD;      

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13. ；       14. ；      15. （1）；（2）；     16. ；      

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）

解：（1）由和相加得：

所以，因此数列是以为公差的等差数列·····································2分

又由和相减得：，所以，

又，因此数列是以为公比的等比数列·······································4分

（2）由（1）知：

两式相加得：························································6分

所以·······························································8分

因为，所以··························································9分

又因为，

所以使得的的取值范围为···············································10分

18.（12分）

解：（1）因为，

所以，即， ·························································1分

由正弦定理得，······················································2分

由于为的内角，所以，·················································3分

所以，即····························································4分

由于为的内角，∴，所以···············································5分

又因为，所以，；·····················································6分

（2）在中由余弦定理知：

···································································9分

所以，等号当仅当时等号成立···········································11分

此时······························································12分

19.（12分）

解: （1）因为平面平面，

平面平面

平面平面

所以·································2分

因为，所以四边形为平行四边形

所以，因为

所以，为的中点·························3分

同理为的中点，所以

因为，所以····························4分

又且，所以四边形是平行四边形，所以，

又，所以.···························································5分

又平面，，所以平面，

又平面，所以平面平面·················································6分

（2）由（1）知，，因为，，，所以

分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 7分

设平面的一个法向量为，因为

则，取，得 ·························································9分

设平面的一个法向量为，因为

则，取，得 ·························································11分

所以，则二面角的大小为···············································12分

20.（12分）

解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量，，

则，

，

，

，

则，，··························································4分

我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；

（只要言之有理即给分）············································6分

（2）因为，根据表中对应值，

得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是，··················7分

由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的列联表如下：

计算，且，

对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为，

由，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．··························12分

21.（12分）

解:（1）由题意知，，·················································1分

当时，，

所以在区间上单调递减·················································2分

当时，令，因为

所以在区间上单调递增，因此············································4分

故当时，，

所以在区间上单调递增·················································5分

因此当时，··························································6分

所以

（2）（ⅰ）由（1）知，在区间上单调递增，

因为

故·································································7分

所以·······························································8分

因此当时，，又因为，

所以·······························································9分

（ⅱ）函数，则

令，则····························································10分

所以在区间上单调递增；

因此 ······························································11分

所以在区间上单调递减，所以

因此

所以，····························································12分

22.（12分）

解:（1）设椭圆焦距为，因为椭圆的短轴长和焦距相等，

所以，①····························································1分

因为，所以点在椭圆上

将代入得：②························································2分

由①②解得：························································3分

所以椭圆的方程为·····················································4分

（2）设，，由题意，则可设直线的方程为：，

由得：，

所以，·····························································5分

又因为，所以，

所以，解得：，······················································6分

所以·······························································7分

所以，解得：

所以直线的方程为：或·················································8分

（3）设，，由题意直线的斜率存在，设直线的方程为：，

由得：，则··························································9分

因为直线与曲线相切于点，所以，

所以，整理得·······················································10分

令，所以

因为在上单调递增；且

所以，存在使得······················································11分

因此在上单调递减，在上单调递增；所以

又因为，所以，

又因为，

因此除零点外，在上还有一个零点

所以，符合题意的点有两个，其中一个的坐标为·····························12分