2022届高考数学二轮专题测练-直线的两点式与截距式方程

这是一份2022届高考数学二轮专题测练-直线的两点式与截距式方程，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 过 x1,y1 和 x2,y2 两点的直线方程是
A. y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
B. y−y1y2−y1=x−x2x1−x2
C. y2−y1x−x1−x2−x1y−y1=0
D. x2−x1x−x1−y2−y1y−y1=0

2. 点 A2,−3 关于点 B−1,0 的对称点 A0 的坐标是
A. −4,3B. 5,−6C. 3,−3D. 12,−32

3. 过点 A−1,2 作直线 l，使它在 x 轴、 y 轴上的截距相等，则这样的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

4. 已知 2x1−3y1=4，2x2−3y2=4 ，则过点 Ax1,y1，Bx2,y2 的直线 l 的方程是
A. 2x−3y=4B. 2x−3y=0C. 3x−2y=4D. 3x−2y=0

5. 直线 xa−yb=1 在 y 轴上的截距是
A. aB. bC. −aD. −b

6. 过点 2,1 且在 x 轴、 y 轴截距相等的直线方程为
A. x+y−3=0B. x+y−3=0 或 x−y−1=0
C. x+y−3=0 或 y=12xD. x−y−1=0 或 y=12x

7. 已知直线 2x−3y+6=0，这条直线的点方向式方程可以是
A. x−32=y−43B. x−2=y−23C. x+33=y2D. x+32=y3

8. 过 P4,−3 且在坐标轴上截距相等的直线有
A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条

9. 过点 5,2，且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是
A. 2x+y−12=0B. 2x+y−12=0 或 2x−5y=0
C. x−2y−1=0D. x−2y−1=0 或 2x−5y=0

10. 过点 P3,2 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是
A. x−y−1=0B. x+y−5=0 或 2x−3y=0
C. x+y−5=0D. x−y−1=0 或 2x−3y=0

11. 直线 l 经过点 A1,2，在 x 轴上的截距的取值范围是 −3,3，则其斜率的取值范围是
A. −11 或 k<12
C. k>15 或 k<1D. k>12 或 k<−1

12. 在平面直角坐标系中，下列四个结论：
①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；
②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；
③方程 k=y+1x−2 与方程 y+1=kx−2 可表示同一直线；
④直线 l 过点 Px0,y0，倾斜角为 90∘，则其方程为 x=x0；
其中正确的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

13. 已知直线 ax+by+c=0 的横截距大于纵截距，则 a，b，c 应满足的条件是
A. a>bB. a0D. ca−cb<0

14. 若直线 Ax+By+C=0A2+B2≠0 经过第一、二、三象限，则系数 A，B，C 满足的条件为
A. A,B,C 同号B. AC>0,BC<0C. AC<0,BC>0D. AB>0,AC<0

15. “k=−1”是“直线 l:y=kx+2k−1 在坐标轴上截距相等”的
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件

16. 将直线 l:y=2x+1 绕点 A1,3 按逆时针方向旋转 45∘ 得到直线 lʹ，则直线 lʹ 的方程为
A. 2x−y+1=0B. x−y+2=0C. 3x−2y+3=0D. 3x+y−6=0

17. 已知直线 l 经过 A1,3 和 B−1,−1 两点，若将直线 l 绕点 A 按逆时针方向旋转 π4 后到达直线 lʹ 的位置，则 lʹ 的方程为
A. x−y+2=0B. 3x+y−6=0C. 2x−y+5=0D. 3x+y+4=0

18. 已知直线l过点P1，−2，且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为
A. x−y−3=0
B. x+y+1=0或2x+y=0
C. x−y−3=0或2x+y=0
D. x+y+1=0或x−y−3=0或2x+y=0

19. 在平面直角坐标系中，下列四个结论：
① 每一条直线都有点斜式和斜截式方程；
② 倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；
③ 方程 k=y+1x−2 与方程 y+1=kx−2 可表示同一直线；
④ 直线 l 过点 Px0,y0，倾斜角为 90∘，则其方程为 x=x0．
其中正确的为
A. ②④B. ②③C. ①②D. ③④

20. 两直线 xm−yn=1 与 xn−ym=1 的图象可能是图中的哪一个
A. B.
C. D.

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 经过点 0,2，3,5 的直线方程为 ．

22. 过点 A1,3，斜率是直线 y=−4x 的斜率的 13 的直线方程为 ．

23. 过点 1,2 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ．

24. 已知直线 l 经过点 A−4,−2，且点 A 是直线 l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线 l 的方程为 ．

25. 若点 P2,b 在过点 A−1,2，B0,1 的直线上，则实数 b 是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）
26. 方程 y−y0x−x0=k 与方程 y−y0=kx−x0 有什么不同?

27. 已知 A1,−1，B3,3 两点，点 C5,a 在直线 AB 上，求实数 a 的值．

28. 如图，在平行四边形 OABC 中，点 C1,3．
（1）求 OC 所在直线的斜率；
（2）过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，求 CD 所在直线的方程．

29. 已知线段 BC 的中点为 D3,32．若线段 BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是 9，求 BC 所在直线的方程．

30. 过点 P4,6 作直线 l 分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于 A，B 两点．
（1）当 △AOB 面积为 64 时，求 l 的方程；
（2）当 △AOB 面积最小时，求 l 的方程．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. A
5. D
【解析】直线 xa−yb=1 中，
令 x=0，解得 y=−b，
所以直线 xa−yb=1 在 y 轴上的截距为 −b．
6. C
7. C
8. B【解析】解法一：设直线方程为 y+3=kx−4k≠0．令 y=0 得 x=3+4kk，令 x=0 得 y=−4k−3．由题意，3+4kk=−4k−3，解得 k=−34 或 k=−1．因而所求直线有两条．
解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为 a,0,0,a,a≠0，则直线方程为 xa+ya=1，把点 P4,−3 的坐标代入方程得 a=1．所以所求直线有两条．
9. B【解析】当截距不为 0 时，设直线的方程为 xa+y2a=1，将 5,2 代入得 a=6，故直线的方程为 x6+y12=1，即 2x+y−12=0；
当截距为 0 时，设直线的方程为 y=kx，将 5,2 代入得 k=25，即直线的方程为 2x−5y=0．
10. B
11. D【解析】设直线的斜率为 k，则直线方程为 y−2=kx−1，令 y=0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 1−2k，则 −3<1−2k<3，解得 k>12 或 k<−1．
12. B【解析】对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；
对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；
对于③，方程 k=y+1x−2x≠2 与方程 y+1=kx−2x∈R 不表示同一直线，故错；
对于④，直线 l 过点 Px0,y0，倾斜角为 90∘，则其方程为 x=x0，正确．
13. D
14. B【解析】因为直线 Ax+By+C=0A2+B2≠0 经过第一、二、三象限，所以 y=−ABx−CB，纵截距 −CB>0，BC<0；横截距 −CA<0，AC>0．
15. B
【解析】当 k=−1 时，
直线 l:y=kx+2k−1=−x−3，
即当 x−3+y−3=1，满足在坐标轴上截距相等，
即充分性成立．
当 2k−1=0，即 k=12 时，
直线方程为 y=12x，在坐标轴上截距都为 0，
即必要性不成立．
故“k=−1”是“直线 l:y=kx+2k−1 在坐标轴上截距相等”的充分不必要条件．
16. D【解析】直线 l:y=2x+1 绕点 41,3 按逆时针方向旋转 45∘ 得到直线 lʹ，
设直线 lʹ 的斜率为 k，
则根据到角公式的应用，tan45∘=k−21+2k=1，
解得 k=−3，
所以直线 lʹ 的方程为 y−3=−3x−1，
整理得 3x+y−6=0．
17. B【解析】因为直线 l 经过 A1,3 和 B−1,−1 两点，
所以直线 l 的斜率为 kAB=−1−3−1−1=2，
将直线 l 绕点 A 按逆时针方向旋转 π4 后到达直线 lʹ 的位置，
设 lʹ 的斜率为 k，由题意得 k<0，
则 tanπ4=2−k1+2k，解得 k=−3 或 k=13（舍），
所以 lʹ 的方程为 y−3=−3x−1，即 3x+y−6=0．
18. C【解析】【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程的解析式，把点P1，−2代入可得a的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案．
【解析】解：当直线过原点时，由于斜率为−2−01−0=−2，故直线方程为 y=−2x，即2x+y=0．
当直线不过原点时，设方程为xa+y−a=1，把点A1，−2代入可得a=3，
故直线的方程为x−y−3=0，
故答案为：2x+y=0，或x−y−3=0，
故选：C．
【点评】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
19. A【解析】对于 ①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；
对于 ②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；
对于 ③，方程 k=y+1x−2x≠2 与方程 y+1=kx−2x∈R 不表示同一直线，故错；
对于 ④，直线 l 过点 Px0,y0，倾斜角为 90∘，则其方程为 x=x0，正确．
20. B
第二部分
21. x−y+2=0
22. 4x+3y−13=0
【解析】设所求直线的斜率为 k，依题意 k=−4×13=−43．
又直线经过点 A1,3，因此所求直线方程为 y−3=−43x−1，即 4x+3y−13=0．
23. 2x−y=0 或 x+y−3=0
【解析】①当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设该直线的方程为 x+y=a，
把 1,2 代入所设的方程得 a=3，则所求直线的方程为 x+y=3 即 x+y−3=0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 y=kx，
把 1,2 代入所求的方程得 k=2，则所求直线的方程为 y=2x 即 2x−y=0．
综上，所求直线的方程为 2x−y=0 或 x+y−3=0．
24. x+2y+8=0
【解析】设直线 l 与两坐标轴的交点为 a,0，0,b，由题意知 a+02=−4，所以 a=−8，b+02=−2，所以 b=−4．
所以直线 l 的方程为 x−8+y−4=1，即 x+2y+8=0．
25. −1
第三部分
26. 前者表示的直线不含点 Px0,y0，后者表示的是“过 Px0,y0，且斜率为 k 的直线”．
27. a=7．
28. （1） 因为点 O0,0，点 C1,3，
所以 OC 所在直线的斜率为 kOC=3−01−0=3．
（2） 在平行四边形 OABC 中，AB∥OC，
因为 CD⊥AB，
所以 CD⊥OC．
所以 CD 所在直线的斜率为 kCD=−13．
所以 CD 所在直线方程为 y−3=−13x−1，即 x+3y−10=0．
29. 由已知得直线 BC 的斜率存在且不为 0．设直线 BC 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b．
故直线 BC 的截距式方程为 xa+yb=1．
由题意得 a+b=9, ⋯⋯①
又点 D3,32 在直线 BC 上，
所以 3a+32b=1，所以 6b+3a=2ab, ⋯⋯②
由①②联立得 2a2−21a+54=0，即 2a−9a−6=0，解得
a=92 或 a=6．
所以 a=92,b=92, 或 a=6,b=3.
所以直线 BC 的方程为 2x9+2y9=1 或 x6+y3=1，
即 2x+2y−9=0 或 x+2y−6=0．
30. （1） 设 l 的方程为 xa+yb=1a>0,b>0，且 4a+6b=1．
12ab=64，即 ab=128 且 4a+6b=1．
解之，得 a=16,b=8 或 a=163,b=24.
所以 l 的方程为 x16+y8=1 或 3x16+y24=1，
即 x+2y−16=0 或 9x+2y−48=0．
（2） 4a+6b=1，S=12ab，
又 4a+6b=1≥224ab，ab≥96，
所以 Smin=48，此时 4a=6b=12，即 a=8，b=12，
所以 l 的方程为 x8+y12=1，即 3x+2y−24=0．