专题17 逆用导数的四则运算法则构造函数

专题17  逆用导数的四则运算法则构造函数

【方法点拨】

1.已知中同时出现关于、的不等关系，而所求是抽象形式的不等式，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数的单调性，然后再逆用单调性；

2. 常见的构造函数:

①对于，构造；一般的，对于，构造．

②对于，构造；一般的，对于，构造．

③对于，构造；一般的，对于，构造．

④对于，构造；一般的，对于，构造．

⑤对于，即，构造．

⑥对于，构造．

⑦对于，构造.

⑧对于，构造.

⑨对于，构造.

【典型题示例】

例1    （2021·江苏省南通市通州区一诊·15）已知偶函数(x≠0)的导函数为，，当x＞0时，，则使成立的x的取值范围是       ．（其中e为自然对数的底数）

【答案】

【解析】设，则

∵x＞0时，

∴当x＞0时，，故在（0，+∞）单增

又，所以

∵是偶函数    ∴也是偶函数，且在（－∞，0）单减

等价于，即

由是偶函数且在（0，+∞）单增

得，解之得.

例2    （多选题）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】结合已知可构造，，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断．

【解答】解：令，，

因为，

则，

故在，上单调递减，

因为，则，

结合选项可知，，从而有，即，故错误，

因为，结合在在，上单调递减可知，从而有，

由可得，故错误；

，从而有，且，即．故正确；

，从而有即．故正确．

故选：．

例3    函数的定义域为，，对任意，，则的解集为              .

【答案】（，+）

【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中，只需构造函数，使得，不难得到（这里为常数，本题中取），进而利用的单调性，即可找到解题的突破口.

【解析】构造函数，则，故单调递增，且.

另一方面所求不等式， 就转化为，逆用单调性定义易知，则不等式的解集为.

例4   设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)>0，则不等式f()>·f()的解集为________．

【答案】　[1,2)

【解析】设F(x)＝xf(x)，则由F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函数F(x)是R上的增函数．

又>0，∴由f()>f()可变形得f()>f()，即F()>F()， ∴解得1≤x<2.

【巩固训练】

1.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为______．

2.已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，则满足的实数的取值范围是     ．

3.设是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集是（     ）

A.           B.          C.                    D.

4．定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（      ）

A．     B．     C．      D．

5．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（   ）

A．            B． 

C．           D．

6．函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（     ） 

A.              B.

C.              D.与的大小不确定

7. 设奇函数f(x)定义在(－，0)∪(0，)上其导函数为f(x)，且f()＝0，当0＜x＜时，f(x)sinx－f(x)cosx＜0，则关于x的不等式f(x)＜2f()sinx的解集为           ．

【答案或提示】

1.【答案】　(0，＋∞)

【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，

因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，

所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.

2.【答案】

3.【答案】D

【解析】构造函数，于是该函数递减，变形为，于是，得，选D.

4．【答案】A

【解析】构造函数，

当时，，即函数单调递增，

则，，

则，即，选A．

5．【答案】A

【解析】由得，

构造函数，则，故单调递增，

有．故选A．

6．【答案】B

【解析】令,则,因为,所以在上恒成立.即函数在单调递增.

因为,

所以

即.答案选B．

7.【答案】(－，0)∪(，)

【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道()＝，(sinx)＝cosx，于是本题的本质是构造来解不等式

【解析】设g(x)= ，则g (x)= ()＝，

所以当0＜x＜时，g (x)<0，g(x) 在(0，)上单调递减

又由于在(0，)上sinx＞0，考虑到sin＝，所以不等式f(x)＜2f()sinx等价于＜，即g(x)< g(),所以此时不等式等价于＜x＜.

又因为f(x) 、sinx为奇函数，所以g(x)是偶函数，且在(－，0)上sinx＜0，所以函数g(x)在(－，0)是单调递增函数，原不等式等价于g(x)＞g(－)=，所以此时不等式等价于－＜x＜0，

综上，原不等式的解集是(－，0)∪(，)．