2022届高考大一轮复习知识点精练：元素和集合的关系

这是一份2022届高考大一轮复习知识点精练：元素和集合的关系，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；共100分）
1. 下列四个关系中，正确的是
A. a∈a,bB. a∈a,b
C. a∉aD. a∈a,b

2. 设集合 A=0,1，B=2,3，定义集合运算 A⊙B=zz=xyx+y,x∈A,y∈B，则集合 A⊙B 中的所有元素之和为
A. 0B. 6C. 12D. 18

3. 已知集合 A=0,m,m2，若 1∈A，则实数 m 的值为
A. −1B. 1C. 1 或 −1D. 0 或 1 或 −1

4. 已知集合 M 是由满足 y=12x（其中 x∈N*，12x∈Z）的实数 y 组成的，则 M 中含有的元素个数为
A. 4B. 6C. 8D. 12

5. 满足 a∈A 且 4−a∈A，a∈N 且 4−a∈N 的有且只有 2 个元素的集合 A 的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

6. 若集合 A=−1,2，B=0,1，则集合 zz=x+y,x∈A,y∈B 中的元素的个数为
A. 5B. 4C. 3D. 2

7. 设集合 M=x0A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

8. 若集合 A=x∈Rax2+ax+1=0 中只有一个元素，则 a=
A. 4B. 2C. 0D. 0 或 4

9. 给出下列关系：① 13∈R；② 5∈Q；③ −3∉Z；④ −3∉N，其中正确的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

10. 已知集合 A=a,a,a−2，若 2∈A，则实数 a 的值为
A. −2B. 2C. 4D. 2 或 4

11. 已知集合 A=xx=3m,m∈N*，B=xx=3m−1,m∈N*，C=xx=3m−2,m∈N*，若 a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是
A. 2018=a+b+cB. 2018=abc
C. 2018=a+bcD. 2018=ab+c

12. 在整数集 Z 中被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为 k，即 k=5n+k∣n∈Z，k=0,1,2,3,4．给出如下四个结论：① 2021∈1；② −3∈3；③若整数 a，b 属于同一“类”，则 a−b∈0；④若 a−b∈0，则整数 a，b 属于同一“类”．其中，正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

13. 已知集合 M=x,yy=fx，若对于任意实数对 x1,y1∈M，都存在 x2,y2∈M，使得 x1x2+y1y2=0 成立，则称集合 M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
① M=x,yy=1x；
② M=x,yy=lg2x；
③ M=x,yy=ex−2；
④ M=x,yy=sinx+1．
其中是“垂直对点集”的序号是
A. ①④B. ②③C. ③④D. ②④

14. 定义集合运算：A*B=zz=x2y−1,x∈A,y∈B．设 A=−1,1，B=0,2，则集合 A*B 中的所有元素之和为
A. −1B. 0C. 1D. 2

15. 设非空数集 M 同时满足条件：① M 中不含元素 −1，0，1；②若 a∈M，则 1+a1−a∈M．则下列结论正确的是
A. 集合 M 中至多有 2 个元素B. 集合 M 中至多有 3 个元素
C. 集合 M 中有且仅有 4 个元素D. 集合 M 中至少有 4 个元素

16. 已知“非空集合 M 的元素都是集合 P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：
① M 中的元素不都是 P 的元素；
② M 的元素都不是 P 的元素；
③存在 x∈P 且 x∈M；
④存在 x∈M 且 x∉P；
这四个命题中，真命题的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

17. 已知“非空集合 M 的元素都是集合 P 的元素”是假命题．给出下列四个命题：
① M 的元素不都是 P 的元素；
② M 的元素都不是 P 的元素；
③存在 x∈P 且 x∈M；
④存在 x∈M 且 x∉P．
这四个命题中，真命题的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

18. 已知集合 A=xx=2k,k∈Z，B=xx=2k+1,k∈Z，C=xx=4k+1,k∈Z，又 a∈A，b∈B，则必有
A. a+b∈AB. a+b∈BC. a+b∈CD. 以上都不对

19. 设集合 S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T 中至少有两个元素，且 S，T 满足：
①对于任意 x,y∈S，若 x≠y，都有 xy∈T；
②对于任意 x,y∈T，若 x下列命题正确的是
A. 若 S 有 4 个元素，则 S∪T 有 7 个元素
B. 若 S 有 4 个元素，则 S∪T 有 6 个元素
C. 若 S 有 3 个元素，则 S∪T 有 5 个元素
D. 若 S 有 3 个元素，则 S∪T 有 4 个元素

20. 已知集合 M 中的元素 x 满足 x=a+2b，其中 a,b∈Z，则下列实数中不属于集合 M 中元素的个数是
① 0；② −1；③ 32−1；④ 23−22；⑤ 8；⑥ 11−2
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共5小题；共25分）
21. 已知集合 A=x,x2（x∈R），若 1∈A，则 x= ．

22. 若使集合 Ak=xkx−k2−6x−4≥0,x∈Z 中元素个数最少，则实数 k 的取值范围是 ．

23. 设集合 A 为含有三个元素的集合，集合 B=z∣z=x+y,x,y∈A,x≠y，若 B=lg26,lg210,lg215，则集合 A= ．

24. x1，x2，x3，x4，x5 是正整数，任取四个正整数，其和组成的集合为 44,45,46,47，则这五个数分别为 ．

25. 设集合 A=x4x−2x+1+a=0,x∈R，若 A 为单元素集，则实数 a 的取值范围 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
26. 已知集合 A=xx=m+2n,m,n∈Z．
（1）试分别判断 x1=−2，x2=12−2，x3=1−222 与集合 A 的关系；
（2）设 x1,x2∈A，证明：x1x2∈A．

27. 设集合 A=xax2+3x+1=0．
（1）若 A 中只有一个元素，求实数 a 的值；
（2）若 A 中至多只有一个元素，求实数 a 的取值范围．

28. 已知集合 A=xax2−3x+2=0．
（1）若 A 是单元素集合，求集合 A；
（2）若 A 中至多有一个元素，求实数 a 的取值范围．

29. 已知集合 A 是由 a−2，2a2+5a，12 三个元素组成的，且 −3∈A，求实数 a 的值．

30. 方程 ax2+2x+1=0，a∈R 的根组成集合 A．
（1）当 A 中有且只有一个元素时，求 a 的值，并求此元素；
（2）当 A 中至少有一个元素时，求 a 满足的条件．

31. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．对任意的点 Px,y，定义 ∣∣OP∣∣=∣x∣+∣y∣．任取点 Ax1,y1，Bx2,y2，记 Aʹx1,y2，Bʹx2,y1，若此时 ∣∣OA∣∣2+∣∣OB∣∣2≥∣∣OAʹ∣∣2+∣∣OBʹ∣∣2 成立，则称点 A，B 相关．
（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
① A−2,1，B3,2．
② C4,−3，D2,4．
（2）给定 n∈N*，n≥3，点集 =nx,y−n≤x≤n,−n≤y≤n,x,y∈Z．
（ⅰ）求集合 n 中与点 A1,1 相关的点的个数；
（ⅱ）若 S⊆n，且对于任意的 A,B∈S，点 A，B 相关，求 S 中元素个数的最大值．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. A【解析】由集合 A=0,m,m2 且 1∈A，
① 若 m=1 时，m2=1，不符合；
② 若 m2=1 时，m=−1 或 m=1（舍），
当 m=−1 时，A=0,−1,1，符合．
综上，m=−1．
4. B【解析】由题意，可知 y 可取的值为 1，2，3，4，6，12，共 6 个．
5. C
【解析】若 a=0，则 4−a=4∈N，故 A=0,4，符合题意；
若 a=1，则 4−a=3∈N，故 A=1,3，符合题意；
若 a=2，则 4−a=2∈N，故 A=2，不符合题意；
若 a=3，则 4−a=1∈N，故 A=3,1，符合题意；
若 a=4，则 4−a=0∈N，故 A=4,0，符合题意；
当 a>4，且 a∈N 时，均不符合题意．
综上，集合 A 的个数是 2，故选C．
6. B
7. B
8. A【解析】由题意知 ax2+ax+1=0 只有一个实数解，
当 a=0 时，方程无实数解；
当 a≠0 时，Δ=a2−4a=0，解得 a=4．
综上所述，a=4．
9. B
10. A
11. C【解析】因为 2018=3×673−1，
所以 2018 不能被 3 整除，
因为 a∈A，b∈B，c∈C，
所以存在 m1,m2,m3∈N*，
使得 a=3m1，b=3m2−1，c=3m3−2，
所以 a+b+c=3m1+3m2−1+3m3−2=3m1+m2+m3−1，abc=3m13m2−13m3−2，a+bc=3m1+3m2−13m3−2=3m1−m3−2m2+3m2m3+1−1，ab+c=3m13m2−1+3m3−2．
显然只有 2018=a+bc 可能成立，故选C．
12. C【解析】对于①，2021 除以 5 等于 404 余 1，所以 2021∈1，①正确；
对于②，−3=−5+2，被 5 除余 2，所以 −3∈2，②错误；
对于③，因为 a，b 是同一类，可设 a=5n1+k，b=5n2+k，
则 a−b=5n1−n2 能被 5 整除，所以 a−b∈0，③正确；
对于④，若 a−b∈0，则可设 a−b=5n,n∈Z，即 a=5n+b,n∈Z，
不妨令 b=5m+k,m∈Z，k=0,1,2,3,4，
则 a=5n+5m+k=5m+n+k,m∈Z,n∈Z，
所以 a，b 属于同一类，④正确．
13. C【解析】记 Ax1,y1，Bx2,y2，则由 x1x2+y1y2=0 得 OA⊥OB．
对于①，对任意 A∈M，不存在 B∈M，使得 OA⊥OB．
对于②，当 A 为点 1,0 时，不存在 B∈M 满足题意．
对于③④，对任意 A∈M，过原点 O 可作直线 OB⊥OA，它们都与函数 y=ex−2 及 y=sinx+1 的图象相交，即③④满足题意，
故选C．
14. B【解析】当 x=−1，y=0 时，z=−1；当 x=−1,y=2 时，z=1；
当 x=1，y=0 时，z=−1；当 x=1，y=2 时，z=1，
所以 A*B=−1.1，所以 A*B 中的所有元素之和为 0．
15. D
16. B
17. B【解析】根据题意，“非空集合 M 的元素都是集合 P 的元素”是假命题，则其否定为真，则非空集合 M 的元素不都是集合 P 的元素，
据此分析 4 个命题：
① M 的元素不都是 P 的元素，正确，
② M 的元素可以为 P 的元素，则 M 的元素都不是 P 的元素，不正确，
⑧可能 M 的元素都不是 P 的元素，存在 x∈P 且 x∈M，不正确，
④存在 x∈M 且 x∉P，正确，
其中正确的命题有 2 个．
18. B【解析】集合 A=xx=2k,k∈Z，则 A=⋯−2,0,2,4,6,8,10⋯，
集合 B=xx=2k+1,k∈Z，则 B=⋯−1,1,3,5,7,9,11⋯，
集合 C=xx=4k+1,k∈Z，则 C=⋯−3,1,5,9,13,17,21⋯，
又 a∈A，b∈B，
当 a=2，b=1 时，a+b=2+1∉A，所以A错误；
当 a=2，b=1 时，a+b=2+1∉C，所以C错误；
因为集合 A=xx=2k,k∈Z，集合 B=xx=2k+1,k∈Z，
又 a∈A，b∈B，
则 a+b=2k1+2k2+1=2k1+k2+1，
所以 a+b 表示奇数，而集合 B 表示奇数，
所以 a+b∈B．
19. A【解析】首先利用排除法：
若取 S=1,2,4，则 T=2,4,8，此时 S∪T=1,2,4,8，包含 4 个元素，排除选项C；
若取 S=2,4,8，则 T=8,16,32，此时 S∪T=2,4,8,16,32，包含 5 个元素，排除选项D；
若取 S=2,4,8,16，则 T=8,16,32,64,128，此时 S∪T=2,4,8,16,32,64,128，包含 7 个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合 S=p1,p2,p3,p4，且 p1则 p1p2同理 p4p2∈S，p4p3∈S，p3p2∈S，p3p1∈S，p2p1∈S，
若 p1=1，则 p2≥2，则 p3p2又 p4>p4p2>p4p3>1，故 p4p3=p4p22=p2，所以 p4=p23，
故 S=1,p2,p22,p23 此时 p25∈T，p2∈T，故 p24∈S，矛盾，舍．
若 p1≥2，则 p2p1又 p4>p4p1>p4p2>p4p3>1，故 p4p3=p4p13=p1，所以 p4=p14，
故 S=p1,p12,p13,p14，此时 p13,p14,p15,p16,p17⊆T．
若 q∈T，则 qp13∈S，故 qp13=p1i，i=1,2,3,4，故 q=p1i+3，i=1,2,3,4，
即 q∈p13,p14,p15,p16,p17，故 p13,p14,p15,p16,p17=T，
此时 S∪T=p1,p12,p13,p14,p14,p15,p16p17 即 S∪T 中有 7 个元素．
故A正确．
故选：A．
20. A
【解析】当 a=b=0 时，x=0；当 a=−1，b=0 时，x=−1；
当 a=−1，b=3 时，x=−1+32；
23−22=23+223−223+22=6+42，即 a=6，b=4；
当 a=0，b=2 时，x=22=8；11−2=1+21−21+2=−1−2，即 a=−1，b=−1．
综上所述：0，−1，32−1，23−22，8，11−2 都是集合 M 中的元素．
第二部分
21. −1
22. −3,−2
【解析】由题知集合 A 内的不等式为 kx−k2−6x−4≥0，x∈Z；
故当 k=0 时，可得 A=x∈Zx<4；
当 k>0 时，kx−k2−6x−4≥0 可转化为 x−4≥0,kx−k2−6≥0 或 x−4≤0,kx−k2−6≤0,
因为 4所以不等式的解集为 xx≤4或x≥k+6k，
所以 A=x∈Zx≤4或x≥k+6k，
当 k<0 时，由 k+6k<4，
所以不等式的解集为 xk+6k≤x≤4，
所以 A=x∈Zk+6k≤x≤4，此时集合 A 的元素个数为有限个．
综上所述，当 k≥0 时，集合 A 的元素个数为无限个，
当 k<0 时，集合 A 的元素个数为有限个，故当 k<0 时，集合 A 的元素个数最少，且当 k+6k 的值越大，集合 A 的元素个数越少，
令 fk=k+6kk<0，则 fʹk=1−6k2，
令 fʹk=0 解得 k=−6，
所以 fk 在 −∞,−6 内单调递增，在 −6,0 内单调递减，
所以 fkmax=f−6=−26，
又因为 x∈Z，−5<−26<−4，
所以当 −5≤k+6k<−4，即 −3≤k≤−2 时，集合 A=x∈Zk+6k≤x≤4 中元素的个数最少，
故 −3≤k≤−2．
23. 1,lg23,lg25
【解析】设 A=a,b,ca所以 a+b+c=lg230，
所以 a=1，b=lg23，c=lg25，
所以 A=1,lg23,lg25．
24. 10，11，11，12，13
【解析】五个数任取四个可以得到五个和值，故必有两个和值相等．而这五个和值之和为 4x1+x2+x3+x4+x5，是 4 的倍数，又 44+45+46+47=182，
所以这个相等的和值只可能是 46，
从而 x1+x2+x3+x4+x5=44+45+46+47+464=57，
则这五个数分别为 57−44=13，57−45=12，57−46=11，57−47=10，57−46=11，
即这五个数分别是 10，11，11，12，13．
25. −∞,0∪1
【解析】令 t=2x>0，则 −a=t2−2t 有唯一解，结合图象得 −a=−1 或 −a≥0，
所以实数 a 的取值范围是 −∞,0∪1．
第三部分
26. （1） x1=−2=0+−1×2，因为 0,−1∈Z，所以 x1∈A；
x2=12−2=2+22=1+12×2，因为 1∈Z，但 12∉Z，所以 x2∉A；
x3=1−222=9−42=9+−4×2，因为 9,−4∈Z，所以 x3∈A．
（2） 因为 x1,x2∈A，所以可设 x1=m1+2n1，x2=m2+2n2，且 m1,n1,m2,n2∈Z，
所以
x1x2=m1+2n1m2+2n2=m1m2+2m2n1+m1n2+2n1n2=m1m2+2n1n2+2m2n1+m1n2.
因为 m1m2+2n1n2∈Z，m2n1+m1n2∈Z，所以 x1x2∈A．
27. （1） 0，94．
（2） a=0 或 a≥94．
28. （1） A 中有且只有一个元素．
当 a=0 时，方程 −3x+2=0 只有一个解 x=23；
当 a≠0 时，由 Δ=−32−4a×2=0，得 a=98，
此时方程有两个相等的实根 x1=x2=43．
综上所述，当 a=0 时，A=23；
当 a=98 时，A=43．
（2） A 中有一个元素或没有元素．
当 A 中没有元素时，由 a≠0，Δ=−32−4a×2<0，得 a>98；
当 A 中有一个元素时，由（1）得 a=0 或 98．
综上所述，当 A 中至多有一个元素时，实数 a 的取值范围是 aa=0,或a≥98．．
29. 由 −3∈A，可得 −3=a−2 或 −3=2a2+5a，
所以 a=−1 或 a=−32．
当 a=−1 时，a−2=−3，2a2+5a=−3，不满足集合中元素的互异性，故 a=−1 舍去．
当 a=−32 时，a−2=−72，2a2+5a=−3，满足题意．
所以实数 a 的值为 −32．
30. （1） A 中有且只有一个元素，即 ax2+2x+1=0 有且只有一个根或有两个相等的实根．
①当 a=0 时，方程的根为 −12 符合题意；
②当 a≠0 时，由 Δ=4−4a=0，得 a=1，此时方程的两个相等的根为 −1．
综上，当 a=0 时，集合 A 中的元素为 −12；当 a=1 时，集合 A 中的元素为 −1．
（2） A 中至少有一个元素，即方程 ax2+2x+1=0 有两个不等实根或有两个相等实根或有一个实根．
①当方程有两个不等实根时，应有 a≠0,Δ=4−4a>0,
所以 a<1 且 a≠0；
②当方程有两个相等实根时，应有 a≠0,Δ=4−4a=0,
所以 a=1；
③当方程有一个实根时，a=0，
所以 2x+1=0，
所以 x=−12，
符合题意由①②③，得当A中至少有一个元素时，a 满足的条件是 a≤1．
31. （1） ①由题知 Aʹ−2,2，Bʹ3,1，进而有
∣∣OA∣∣2+∣∣OB∣∣2=2+12+3+22=34，
∣∣OAʹ∣∣2+∣∣OBʹ∣∣2=2+22+3+12=32，
所以 ∣∣OA∣∣2+∣∣OB∣∣2≥∣∣OAʹ∣∣2+∣∣OBʹ∣∣2，
所以 A，B 两点相关，
②由题知 Cʹ4,4，Dʹ2,−3，进而有
∣∣OC∣∣2+∣∣OD∣∣2=4+32+2+42=85，
∣∣OCʹ∣∣2+∣∣ODʹ∣∣2=4+42+2+32=89，
所以 ∣∣OC∣∣2+∣∣OD∣∣2≤∣∣OCʹ∣∣2+∣∣ODʹ∣∣2，
所以 C，D 两点不相关．
（2） （ⅰ）设 A1,1 的相关点为 Bx,y，x,y∈Z，−n≤x≤n，−n≤y≤n，
由题意，Aʹ1,y，Bʹx,1，
因为点 A，B 相关，则 4+x2+y2+2∣x∣∣y∣≥1+y2+2∣y∣+1+x2+2∣x∣，
所以 ∣x∣∣y∣−∣x∣−∣y∣+1≥0，
当 x=0 时，∣y∣∈0,1，则 A1,1 相关点的个数共 3 个；
当 ∣x∣=1 时，则 A1,1 相关点的个数共 4n+2 个；
当 ∣x∣≥2 时，∣y∣≥1，则 A1,1 相关点的个数共 4nn−1 个．
所以满足条件点 B 共有 4nn−1+4n+2+3=4n2+5（个）．
（ⅱ）集合 S 中元素个数的最大值为 8n−1，
S=0,0,0,±1,±1,±1,⋯±1,±n,±2,±n,⋯,±n,±n 符合题意．
下证：集合 S 中元素个数不超过 8n−1．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，若点 A，B 相关，则
x12+y12+2x1y1+x22+y22+2x2y2≥x12+y22+2x1y2+x22+y12+2x2y1，
则 x1y1+x2y2≥x1y2+x2y1，
所以 x1−x2y1−y2≥0，
设集合 S 中共有 m 个元素，分别为 Aixi,yi，1≤i≤m，i∈N*，
不妨设 x1≤x2≤⋯xm，并且满足当 xi=xi+1，yi≤yi+1，
下证：y1≤y2≤⋯≤ym，
若 xi=xi+1，yi≤yi+1，
若 xi记 di=xi+1+yi+1−xi−yi，1≤i≤m−1，i∈N*，
显然，数列 di 至多连续 3 项为 0，必有 di+di+1+di+2+di+3≥1，
假设 m>8n−1，
则 d1+d2+⋯+d8n−1=d1+d2+d3+d4+⋯+d8n−1≥2n−1，
而 d1+d2+⋯+d8n−1=x8n−x1+y8n−y1≥2n−1，
因此，必有 x1=0 或 y1=0．
可得，d1，d2 不可能同时为 0，则 d1+d2≥1，
所以 d1+d2+⋯+d8n−1=d1+d2+d3+d4+⋯+d8n−1≥2n，
必有 x8n=y8n=n，x1=y1=0，
所以 d1=1，d2=d3=0，
因此 x2+y2=1，x3+y3=1，x4+y4=1，
若 x2=1，则 A2,A3,A4∈1,0,−1,0，矛盾，
同理，y2=1，矛盾，
因此，假设不成立．
所以 m≤8n−1，
所以集合 S 中元素个数的最大值为 8n−1．