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第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合教案
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这是一份第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合教案，共11页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
课程标准
命题解读
1.理解样本点、有限样本空间、随机事件．
2.会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解．
3.理解两个基本计数原理，运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题．
4.了解条件概率及其与独立性的关系，能进行简单计算．
5.理解离散型随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象．
6.理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布．
7.了解服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量．
8.基于随机变量及其分布解决简单的实际问题.
考查形式：高考在本章一般命制1道选择题或填空题及1道解答题．
考查内容：两个计数原理、排列与组合、二项式定理、概率、随机变量及其分布，其中概率、随机变量及其分布是高考命题的热点，每年必考．
备考策略：(1)计数原理常与古典概型综合．
(2)掌握二项式定理及其应用，会利用通项公式求特定项．
(3)加强以实际问题为背景，考查分布列、期望等是高考的热点题型的训练．
(4)概率统计试题的阅读量和信息量都有所加强，考查角度趋向于应用概率统计知识对实际问题做出决策．
核心素养：数学建模、数学运算、逻辑推理.
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合
一、教材概念·结论·性质重现
1．两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论
完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
两个计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．排列与组合的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的定义
作为一组
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝＝
性质
A＝n！，0！＝1
C＝C，C＋C＝C
(1)“排列”与“组合”的辨析
排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．
(2)①排列数与组合数之间的联系：CA＝A.
②两种形式：连乘积形式；阶乘形式．
前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (×)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事． (√)
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． (×)
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． (√)
(5)若C＝C，则x＝m成立． (×)
2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有( )
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
B 解析：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．
3．某中学语文老师从《红楼梦》《平凡的世界》《红岩》《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有( )
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
C 解析：(1)先从《平凡的世界》《红岩》《老人与海》三本书中选择2本，共有C＝3(种)选法；(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三个学生，有A＝6(种)排法．根据分步乘法计数原理，不同的分配方法有3×6＝18(种)．故选C．
4．由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．
10 解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A＝6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为CA＝4.由分类加法计数原理，得满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.
5．从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
16 解析：(方法一)可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有CC＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有CC＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．
(方法二)从6人中任选3人，不同的选法共有C＝20(种)．从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C＝4(种)．所以，至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种).
考点1 两个原理的应用——基础性
(1)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )
A．250个 B．249个 C．48个 D．24个
C 解析：分两类：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个)．由分类加法计数原理，得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)．故选C．
(2)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
B 解析：分两种情况：①4位朋友中有2个人得到画册，有C＝6(种)赠送方法；②4位朋友中只有1个人得到画册，有C＝4(种)赠送方法．由分类加法计数原理，得不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．故选B．
(3)如图，将4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形不同色，则不同的涂法有( )
A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
A 解析：(方法一)分四步完成，首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法．由分步乘法计数原理，得不同的涂法有4×3×2×3＝72(种)．
(方法二)按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2×1＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．
两个计数原理的应用
(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成．
(2)较复杂的问题可借助图表来完成．
(3)对于涂色问题：①分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素；②注意对每个区域逐一进行，分步处理．
1．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．6种 C．10种 D．16种
B 解析：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的传递方式有3种(如图)；同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的传递方式也有3种．
由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 B．204 C．729 D．920
A 解析：分两类：①如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数C个；②如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有(CA＋C)个．综上所述，所有凸数共有2C＋CA＝240(个)．
3．(2020·重庆模拟)某地行政区域如图所示，请你用4种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻区域不同色，共有________种不同的涂色方法．(用具体数字作答)
72 解析：假设按a→b→c→d→e的顺序涂色．a有4种涂色的方法，b有3种涂色方法，c有2种涂色方法．对于e：若c与d颜色相同，则有2种涂色方法；若c与d颜色不相同，则只有1种涂色方法．故共有4×3×2×(2＋1)＝72(种)不同的涂色方法．
考点2 排列问题——基础性
(1)(2020·合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有( )
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
B 解析：由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有AA种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有AA种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有AA种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有CCAA种方法．根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有AA＋AA＋AA＋CCAA＝44(种)．故选B．
(2)(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
36 解析：因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，所以先取2名同学看作一组，选法有C＝6(种)．现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有A＝6(种)．根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×6＝36(种)．
1．(2020·洛阳市第一次联考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放．如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A．16 B．18 C．24 D．32
C 解析：第一步，将3辆不同型号的车进行排列，有A种方法；第二步，把剩余的4个车位看成一个元素，插入3辆车所形成的4个空位中，有C种方法．由分步乘法计数原理可知，不同的停放方法共有A·C＝24(种)．故选C．
2．(2020·雅礼中学高三模拟)现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生．若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有( )
A．AA种 B．AA种 C．AAA种 D．AAA种
D 解析： 采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是A，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是A；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是A.综上所述，不同的排法共有AAA种．故选D．
3．(2020·和平区高三一模)国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )
A．378 B．306 C．268 D．198
D 解析：分两种情况讨论：
①若选两个国内媒体、一个国外媒体，则有CCA＝90(种)不同提问方式；
②若选两个国外媒体、一个国内媒体，则有CCA＝108(种)不同提问方式．
所以共有90＋108＝198(种)提问方式．故选D．
考点3 组合问题——基础性
(1)某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有( )
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
C 解析：若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C种选法，9日、10日有CC种安排方法，共有CCC＝24(种)安排方法；
若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有CCC＝12(种)安排方法；
若甲、乙都在10日值班，则共有CC＝6(种)安排方法．
所以不同的安排方法共有24＋12＋6＝42(种)．
(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )
A．232 B．252 C．472 D．484
C 解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有CC＝264(种)；
第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C－3C＝220－12＝208(种)．
由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．
组合问题的常见类型与处理方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
1．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为( )
A．30 B．42 C．54 D．56
B 解析：间接法：先从这8个点中任取3个点，有C种取法，再减去三点共线的情形即可，即三角形的个数为C－C－C＝42.
2．(多选题)(2020·盐城市大丰中学期中)有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区．若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式的是( )
A．C－CC
B．CC＋CC＋CC＋C
C．C－CC－C
D．CC
BC 解析：13名医生，其中女医生6人，男医生7人．
利用直接法，2男3女：CC；3男2女：CC；4男1女：CC；5男：C，所以N＝CC＋CC＋CC＋C.
利用间接法：13名医生，任取5人，减去抽调4名女医生和5名女医生的情况，即N＝C－CC－C.
所以能成为N的算式的是BC．故选BC．
考点4 排列与组合的综合应用——综合性
(1)(2020·滨海新区大港一中高三模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．48 B．72 C．90 D．96
D 解析： 甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛．
①当甲参加另外3场比赛时，共有C·A＝72(种)选择方案；②当甲不参加任何比赛时，共有A＝24(种)选择方案．故不同的参赛方案有72＋24＝96(种)．
(2)有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两名同学要站在一起，则不同的站法有( )
A．240种 B．192种 C．96种 D．48种
B 解析：当丙和乙在甲的左侧时，共有ACAA＝96(种)站法．同理，当丙和乙在甲的右侧时，也有96种站法，所以不同的站法共有192种．
求解排列、组合应用问题的六种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法
处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
1．(2020·杭州市高三二模)有来自甲、乙、丙三个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数是( )
A．96 B．48 C．36 D．24
B 解析： 由题意知，可以是甲班的2名同学相邻，也可以是乙班的2名同学相邻，相邻的2名同学和丙班的1名同学站队，共有CAA种站法．再将另外一个班级的2名同学进行插空，共有A种站法．由分步乘法计数原理知，仅有一个班级的同学相邻的站法种数是CAAA＝48.故选B．
2．(2020·泸州市高三三模)某中学学生会体育部共有5人，现需从体育部选派4人，分别担任拔河比赛的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任裁判工作，则不同的工作安排方式共有( )
A．120种 B．48种
C．96种 D．60种
C 解析：从5人中选4人担任4项不同工作，有A种方法．若甲担任裁判工作，再从另外4人中选3人担任3项不同工作，有A种方法，则符合题意的工作安排方式共有A－A＝96(种)．故选C．
课程标准
命题解读
1.理解样本点、有限样本空间、随机事件．
2.会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解．
3.理解两个基本计数原理，运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题．
4.了解条件概率及其与独立性的关系，能进行简单计算．
5.理解离散型随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象．
6.理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布．
7.了解服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量．
8.基于随机变量及其分布解决简单的实际问题.
考查形式：高考在本章一般命制1道选择题或填空题及1道解答题．
考查内容：两个计数原理、排列与组合、二项式定理、概率、随机变量及其分布，其中概率、随机变量及其分布是高考命题的热点，每年必考．
备考策略：(1)计数原理常与古典概型综合．
(2)掌握二项式定理及其应用，会利用通项公式求特定项．
(3)加强以实际问题为背景，考查分布列、期望等是高考的热点题型的训练．
(4)概率统计试题的阅读量和信息量都有所加强，考查角度趋向于应用概率统计知识对实际问题做出决策．
核心素养：数学建模、数学运算、逻辑推理.
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合
一、教材概念·结论·性质重现
1．两个计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论
完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
两个计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．排列与组合的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合的定义
作为一组
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝＝
性质
A＝n！，0！＝1
C＝C，C＋C＝C
(1)“排列”与“组合”的辨析
排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．
(2)①排列数与组合数之间的联系：CA＝A.
②两种形式：连乘积形式；阶乘形式．
前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (×)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事． (√)
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． (×)
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． (√)
(5)若C＝C，则x＝m成立． (×)
2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有( )
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
B 解析：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．
3．某中学语文老师从《红楼梦》《平凡的世界》《红岩》《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有( )
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
C 解析：(1)先从《平凡的世界》《红岩》《老人与海》三本书中选择2本，共有C＝3(种)选法；(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三个学生，有A＝6(种)排法．根据分步乘法计数原理，不同的分配方法有3×6＝18(种)．故选C．
4．由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．
10 解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A＝6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为CA＝4.由分类加法计数原理，得满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.
5．从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
16 解析：(方法一)可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有CC＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有CC＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．
(方法二)从6人中任选3人，不同的选法共有C＝20(种)．从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C＝4(种)．所以，至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种).
考点1 两个原理的应用——基础性
(1)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )
A．250个 B．249个 C．48个 D．24个
C 解析：分两类：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个)．由分类加法计数原理，得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)．故选C．
(2)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
B 解析：分两种情况：①4位朋友中有2个人得到画册，有C＝6(种)赠送方法；②4位朋友中只有1个人得到画册，有C＝4(种)赠送方法．由分类加法计数原理，得不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．故选B．
(3)如图，将4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形不同色，则不同的涂法有( )
A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
A 解析：(方法一)分四步完成，首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法．由分步乘法计数原理，得不同的涂法有4×3×2×3＝72(种)．
(方法二)按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2×1＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．
两个计数原理的应用
(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成．
(2)较复杂的问题可借助图表来完成．
(3)对于涂色问题：①分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素；②注意对每个区域逐一进行，分步处理．
1．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．6种 C．10种 D．16种
B 解析：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的传递方式有3种(如图)；同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的传递方式也有3种．
由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 B．204 C．729 D．920
A 解析：分两类：①如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数C个；②如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有(CA＋C)个．综上所述，所有凸数共有2C＋CA＝240(个)．
3．(2020·重庆模拟)某地行政区域如图所示，请你用4种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻区域不同色，共有________种不同的涂色方法．(用具体数字作答)
72 解析：假设按a→b→c→d→e的顺序涂色．a有4种涂色的方法，b有3种涂色方法，c有2种涂色方法．对于e：若c与d颜色相同，则有2种涂色方法；若c与d颜色不相同，则只有1种涂色方法．故共有4×3×2×(2＋1)＝72(种)不同的涂色方法．
考点2 排列问题——基础性
(1)(2020·合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有( )
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
B 解析：由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有AA种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有AA种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有AA种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有CCAA种方法．根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有AA＋AA＋AA＋CCAA＝44(种)．故选B．
(2)(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
36 解析：因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，所以先取2名同学看作一组，选法有C＝6(种)．现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有A＝6(种)．根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×6＝36(种)．
1．(2020·洛阳市第一次联考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放．如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A．16 B．18 C．24 D．32
C 解析：第一步，将3辆不同型号的车进行排列，有A种方法；第二步，把剩余的4个车位看成一个元素，插入3辆车所形成的4个空位中，有C种方法．由分步乘法计数原理可知，不同的停放方法共有A·C＝24(种)．故选C．
2．(2020·雅礼中学高三模拟)现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生．若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有( )
A．AA种 B．AA种 C．AAA种 D．AAA种
D 解析： 采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是A，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是A；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是A.综上所述，不同的排法共有AAA种．故选D．
3．(2020·和平区高三一模)国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )
A．378 B．306 C．268 D．198
D 解析：分两种情况讨论：
①若选两个国内媒体、一个国外媒体，则有CCA＝90(种)不同提问方式；
②若选两个国外媒体、一个国内媒体，则有CCA＝108(种)不同提问方式．
所以共有90＋108＝198(种)提问方式．故选D．
考点3 组合问题——基础性
(1)某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有( )
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
C 解析：若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C种选法，9日、10日有CC种安排方法，共有CCC＝24(种)安排方法；
若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有CCC＝12(种)安排方法；
若甲、乙都在10日值班，则共有CC＝6(种)安排方法．
所以不同的安排方法共有24＋12＋6＝42(种)．
(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )
A．232 B．252 C．472 D．484
C 解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有CC＝264(种)；
第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C－3C＝220－12＝208(种)．
由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．
组合问题的常见类型与处理方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
1．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为( )
A．30 B．42 C．54 D．56
B 解析：间接法：先从这8个点中任取3个点，有C种取法，再减去三点共线的情形即可，即三角形的个数为C－C－C＝42.
2．(多选题)(2020·盐城市大丰中学期中)有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区．若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式的是( )
A．C－CC
B．CC＋CC＋CC＋C
C．C－CC－C
D．CC
BC 解析：13名医生，其中女医生6人，男医生7人．
利用直接法，2男3女：CC；3男2女：CC；4男1女：CC；5男：C，所以N＝CC＋CC＋CC＋C.
利用间接法：13名医生，任取5人，减去抽调4名女医生和5名女医生的情况，即N＝C－CC－C.
所以能成为N的算式的是BC．故选BC．
考点4 排列与组合的综合应用——综合性
(1)(2020·滨海新区大港一中高三模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．48 B．72 C．90 D．96
D 解析： 甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛．
①当甲参加另外3场比赛时，共有C·A＝72(种)选择方案；②当甲不参加任何比赛时，共有A＝24(种)选择方案．故不同的参赛方案有72＋24＝96(种)．
(2)有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两名同学要站在一起，则不同的站法有( )
A．240种 B．192种 C．96种 D．48种
B 解析：当丙和乙在甲的左侧时，共有ACAA＝96(种)站法．同理，当丙和乙在甲的右侧时，也有96种站法，所以不同的站法共有192种．
求解排列、组合应用问题的六种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法
处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
1．(2020·杭州市高三二模)有来自甲、乙、丙三个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数是( )
A．96 B．48 C．36 D．24
B 解析： 由题意知，可以是甲班的2名同学相邻，也可以是乙班的2名同学相邻，相邻的2名同学和丙班的1名同学站队，共有CAA种站法．再将另外一个班级的2名同学进行插空，共有A种站法．由分步乘法计数原理知，仅有一个班级的同学相邻的站法种数是CAAA＝48.故选B．
2．(2020·泸州市高三三模)某中学学生会体育部共有5人，现需从体育部选派4人，分别担任拔河比赛的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每人只担任其中一项工作，其中甲没有担任裁判工作，则不同的工作安排方式共有( )
A．120种 B．48种
C．96种 D．60种
C 解析：从5人中选4人担任4项不同工作，有A种方法．若甲担任裁判工作，再从另外4人中选3人担任3项不同工作，有A种方法，则符合题意的工作安排方式共有A－A＝96(种)．故选C．
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