高二数学寒假作业同步练习题专题06抛物线小题专项练习含解析

专题06  抛物线小题专项练习

一、巩固基础知识

1．抛物线的焦点坐标为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，焦点坐标，故选A。

2．若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】由题意知，则准线为，即，∴，则，故选C。

3．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】椭圆左焦点，则，，故选A。

4．若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】抛物线焦点，准线方程，点到准线距离为，到轴距离，故选D。

5．已知点在抛物线上，且点到轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点到轴的距离为        。

【答案】

【解析】设到轴的距离为，则到焦点的距离为，则，，

则的横坐标为，代入抛物线方程的纵坐标为，则点到轴的距离为。

6．已知抛物线()的焦点与双曲线的一个焦点重合，若该抛物线在其上一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则点的纵坐标为        。

【答案】

【解析】双曲线焦点坐标，则抛物线焦点，则，则，

设，由得在处的切线斜率为，切线方程为，

令得，令得，则，，

则的纵坐标为。

7．设为抛物线：的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，点为线段的中点。若，则直线的斜率等于        。

【答案】

【解析】设：，代入抛物线化简得，

设、、，则，，

∴，，由得，解得。

二、扩展思维视野

8．已知抛物线()与双曲线：(，)的两条渐近线分别交于两点、(、异于原点)，抛物线的焦点为。若双曲线的离心率，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】，，，则渐近线方程，代入抛物线得或，

故，则，则，故选B。

9．已知抛物线的焦点为，、是抛物线上横坐标不相等的两点，若的垂直平分线与轴的交点是，则的最大值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，、，，

即，又，，

则，

即，又，则，∴线段中点的横坐标为，

∴(当、、三点共线时取等号)，

即的最大值为，故选C。

10．抛物线：()的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点。若在点处的切线平行于的一条渐近线，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】：，焦点，右焦点，则直线的方程为，

双曲线渐近线方程，对求导，则，

设，则，即，代入抛物线，

又点在上，则，解得，故选D。

11．已知点在直线上，点在抛物线上，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】设参数、，，故选D。

12．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为，则抛物线的方程是         。

【答案】

【解析】设()，抛物线上的点到焦点的距离为点到准线的距离，

则，解得，则抛物线方程为。

13．已知是的焦点，、是抛物线上的两点，，则线段的中点到该抛物线准线的距离为         。

【答案】

【解析】，准线，设、，，

∴，则线段中点的横坐标为，线段中点到该抛物线准线的距离为。

14．抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出。如图，已知抛物线()，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点，反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，设、两点的坐标分别为、，则        。

【答案】

【解析】必经过抛物线交点，

当存在斜率，则设()，即，

代入抛物线方程中整理得，∴，

当不存在斜率时，代入抛物线得，∴，

综上。

三、提升综合素质

15．一动圆过点，圆心在抛物线上，且该圆恒与定直线相切，则直线的方程为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，焦点，∴定点为抛物线焦点，要使圆过点且与定直线相切，

需圆心到定点距离与其到定直线距离相等，则为抛物线准线，方程为，故选A。

16．若抛物线：()的焦点为，准线为，点在抛物线上，、是准线上关于轴对称的两点。若，，且三角形的面积为，则的值是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】由对称性知是等腰直角三角形，，点到准线的距离，

∵，∴，∴，故选B。

17．已知抛物线()的焦点为，、是抛物线上的两个点，若是边长为的正三角形，则的值是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】，、()，，

，则，又，则，，

，解得，故选C。

18．已知等边三角形的顶点是抛物线：()的焦点，顶点在抛物线的准线上，且，则点(  )。

A、在开口内

B、在上

C、在开口外

D、与值有关

【答案】B

【解析】设，中点横坐标为，则，是边长为的等边三角形，

即，∴，∴，

∴，代入()中得点在抛物线上，故选B。

19．抛物线()的焦点为，已知、为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为        。

【答案】

【解析】设，，连接、，

由抛物线定义得，，，

在梯形中，，

由余弦定理得，，

配方得，又∵，

∴，则，

∴。

20．已知、为抛物线上异于原点的两点，且满足(为抛物线的焦点)，延长、分别交抛物线于点、，则四边形面积的最小值为        。

【答案】

【解析】设、，则直线的斜率一定存在，

有对称性不妨设，过焦点，

则直线方程，代入抛物线化简得，，，

，

∵，则直线的斜率，从而的方程为，

同理，

，当时等号成立，

∴四边形面积的最小值为。