山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题

高三数学
2022． 1

注意事项：

1. 答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2. 回答选择题时， 选出每小题答案后． 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 写在本试卷上无效．
3. 考试结束， 考生必须将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题： 本大题共 8 小题，毎小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集 ， 集合 ， 则 ＝
   A．
   B．
   C．
   D．
2. 如图，已知角 的顶点与坐标原点重合，始边为 轴正半轴， 点 是角 终边上的一点， 则

A．
B．
C．
D．

3. 2021 年 12 月 9 日， 中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香 港、澳门的地面课堂同步进行． 假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为 ，其中香港课堂女生占 ，澳门课堂女生占 ． 若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则 该学生恰好为女生的概率是
   A．
   B．
   C．
   D．
4. "是 “ "的
   A． 充分不必要条件
   B． 必要不充分条件
   C． 充要条件
   D． 既不充分也不必要条件
5. 如图， 某类共享单车密码锁的密码是由 4 位数字组成， 所有密码中， 恰有三个重复数字的密码个数为

A． 90
B． 324
C．
D． 400
 

6. 已知 ， 则

A．
B．
C．
D．

7. 已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是

A．[0，1]

B．

C．[1，2]

D．

8. 斐波那契数列又称"黄金分割数列"，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{an}可以用如下方法定义

则 是数列 的第几项?

A． 2020

B． 2021

C．2022

D． 2023

二、多项选择题： 本大题共 4 个小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的四个选项中， 有须符合题目要求， 全部选对的得 5 分， 选对但不全的得 2 分， 有选错的得 0 分．

9. 已知曲线 ， 则
   A． 双曲线 的实轴长为定值
   B． 双曲线 的焦点在 轴上
   C． 双曲线 的离心率为定值
   D． 双曲线 的渐进线方程为
10. 已知函数 ， 则下列结论中正确的是
    A． 的定义域为
    B． 是奇函数
    在定义域上是减函数
    D． 无最小值， 无最大值
     
11.  已知函数 ， 现有如下四个命题：
    甲：该函数的最小值为 ；
    乙：该函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ；
    丙：该函数的一个零点为 ；
    丁 ：该函数图像可以由 的图像平移得到．
    如果有且只有一个假命题， 那么下列说法正确的是
    A． 乙一定是假命题
    B． 的值可唯一确定
    C． 函数 的极大值点为
    D． 函数 图像可以由 图像伸缩变换得到
12. 如图， 是边长为 5 的正方形， 半圆面 平面 ． 点 为半圆弧 上一动点(点 与点 不重合)． 下列说法正确的是

A． 三棱锥 的四个面都是直角三角形
B． 三棱锥 体积的最大值为
C． 异面直线 与 的距离为定值
D． 当直线 与平面 所成角最大时， 平面 截四棱锥 外接球的截面面积为

三、填空题： 本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 把答案填在答题卡的相应位置．

13. 复数 满足 (其中 为虚数单位)． 则 ________．
14. 已知圆锥的高为 1 ， 轴截面是等腰直角三角形， 则该圆锥的侧面积为________．
15. 单板滑雪 型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进人决赛阶段的 12 名运动员控照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行， 裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分． 最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩． 现有运动员甲、乙二人在 2021 赛季单板滑雪 型池世界杯分站比赛成绩如下表：

假如从甲、乙 2 人中推荐 1 人参加 2022 年北京冬奧会单板滑雪 型池比赛， 根据以上数据信息，你推荐________运动员参加， 理由是________． (第一空 1 分，第二空 4 分)

附： 方差 ， 其中 为 的平均数．

16. 过直线 上一点 点 不在 轴上) 作抛物线 的两条切线， 两条切 线分别交 轴于点 ， 则 外接圆面积的最小值为________．

四、解答题： 本大题共 6 小题， 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (10分)

已知公差不为 0 的等差数列 ，记，其中

表示不超过 的最大整数， 如 ．
(1) 求数列 的通项公式；

(2) 求数列 前101项和．

18. (12 分)
    已知 中， 角 的对边分别为 ， 且
    (1) 证明： ；
    (2) 求 的面积．
19. (12 分)
          我国脱贫攻坚经过 8 年奋斗， 取得了重大胜利． 为巩固脱贫攻坚成果， 某项目组对某 种农产品的质量情况进行持续跟踪， 随机抽取了 10 件产品， 检测结果均为合格， 且质量指 标分值如下：
            ．
         经计算知上述样本质量指标平均数为 ， 标准差为 ． 生产合同中规定： 所有农 产品优质品的占比不得低于 (已知质量指标在 63 分以上的产品为优质品)．
          (1) 从这 10 件农产品中有放回地连续取两次， 记两次取出优质品的件数为 ， 求 的 分布列和数学期望．
          (2) 根据生产经验， 可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布 ， 其中 近似为样本质量指标平均数， 近似为方差， 那么这种农产品是否满足生产合同的要求? 请说明理由．
         附： 若 ， 则 ．
20. (12 分)
    如图， 在四棱锥 中， ， 底面四边形 为菱形， ， 异面直线 与 所成的角为 ． 试在①， ②，③ 三个条件中选两个条件， 使得 平面 成立， 请说明选择理由， 并 求平面 与平面 所成角的余弦值．

21. (12 分)
    已知函数 ．
    (1) 当 时， 求曲线 在点 处的切线方程；
    (2) 若函数 有三个极值点 ， 且 ．
    证明： ．
22. (12 分)
    已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 点 在椭圆上． 过点 的直线交椭圆于两点 与顶点 不重合 ， 且直线 与 与 分别交于点 ．
    (1) 求椭圆 的方程；
    (2) 设直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ．
    ①证明： 为定值；
    ②求 面积的最小值．