广东省广州市第六中学2022届高三上学期期末模拟考试数学含答案

这是一份广东省广州市第六中学2022届高三上学期期末模拟考试数学含答案，共14页。试卷主要包含了已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

姓名： 得分：
第I卷（选择题）
1．已知全集U={x∈N|0≤lg2 QUOTE ≤1},集合A={x∈N|2≤2x≤8},则∁UA=
2．已知复数z1= QUOTE 在复平面内对应的点为Z1,复数z2在复平面内对应的点为Z2,若向量 QUOTE 与虚轴垂直,则z2的虚部为
3．已知函数f(x)=2sin( QUOTE x+ QUOTE ),则f(x)在[ QUOTE ,1]上的单调递增区间为
4．已知双曲线方程为x2- QUOTE =λ,则 “λ= QUOTE ”是“双曲线离心率为2”的
5．在区间[0,2]上随机取两个数x,y,若事件“|y-x|≤a”发生的概率与事件“x+y≤2”发生的概率相等,则a的值为
6．已知等比数列{an}的公比为q,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则q=
7．某三棱锥的三视图如图所示,其中小正方形的边长均为1.三棱锥上的点M在俯视图上的对应点为A,点N在左视图上的对应点为B,则线段MN长度的最大值为
8．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为
9．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A是抛物线C上任意一点,AO(O为坐标原点)交直线x=-1于点B,AF交抛物线C于另一点D,则直线BD的斜率为
10．如图,在平面四边形ABCD中,| QUOTE |=| QUOTE |, QUOTE =2 QUOTE , QUOTE =-2 QUOTE ,| QUOTE |=| QUOTE |=2,若F为线段DE上的动点,则 QUOTE · QUOTE 的最小值为
11．在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,有一个与正方体各个面均相切的球,平面AB'D'截该球所得截面的面积为
12．已知f(x),g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=ex,若关于x的不等式2f(x)-ag2(x)≥0在(0,ln 2)上恒成立,则实数a的取值范围是
第II卷（非选择题）
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13．函数f(x)=x-1- QUOTE 在(1,f(1))处的切线方程为 .
14．某社区年终活动设置抽奖环节,方案如下:准备足够多的写有“和谐”、“和睦”、“复兴”的卡片,参与者随机逐一抽取四张,若集齐三种卡片就获奖.王大爷按规定参与抽奖,则他直到第四次抽取出卡片才确定获奖的不同情况种数为 .
15．已知直线l:(λ+2μ)x+(λ-μ)y-4λ-8μ=0交☉O:x2+y2=25于A,B两点,C为l外一动点,且|AC|=2|BC|,当|AB|最小时,△ABC面积的最大值为 .
16．数列{an}满足a1=1,|an-an-1|=n2(n∈N*且n≥2),数列{a2n-1}为递增数列,数列{a2n}为递减数列,且a1>a2,则a99= .

17．已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120°.
(1)若a=2b,求tan A的值;
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D,且CD=1,求△ABC周长的最小值.
18．如图1,在平面四边形ABCD中,E是AD的中点,AD=2EC=4AB=4,∠A=∠D=60°.将△CDE沿CE折起,使点D到点P的位置,得到四棱锥P-ABCE(如图2),其中平面PCE⊥平面ABCE.
(1)求证:BE⊥PC.
(2)求二面角P-AB-E的大小.
19．某地区共有200个村庄,根据扶贫政策的标准,划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的GDP(国内生产总值)(单位:万元)情况,利用分层抽样的方法,从中抽取一个容量为20的样本,并绘成如图所示的茎叶图.
(1)(i)分别求样本中非贫困村与贫困村的GDP的平均值;
(ii)利用样本平均值来估算该地区2018年度的GDP的总值.
(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研,设X表示被调研的村中GDP低于(i)中贫困村GDP平均值的村的个数,求X的分布列及数学期望.
20．已知点A(1,e)为椭圆E: QUOTE =1(a>b>0)上一点,其中e为椭圆的离心率,椭圆的长轴长是短轴长的两倍.
(1)求椭圆E的方程;
(2)B,C(均不与点A重合)是椭圆上关于原点对称的两点,当△ABC的面积最大时,求直线BC的方程.
21．已知函数f(x)=ex-ax2-x-1.
(1)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的值;
(2)若f(x)在定义域内有唯一的零点,求实数a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 QUOTE (t为参数,0≤α<π).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆心为( QUOTE ,π)的圆C过极点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若直线l与圆C恰好相切,求α的正切值.
23．已知函数f(x)=|x-2|+|x-a|(a∈R,a>0)的最小值为2.
(1)求不等式f(x)≤4的解集;
(2)记(1)中不等式的解集为[α,β],若正实数x,y满足x+y=α,求 QUOTE 的最小值.
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（数学）答案
1.B
2.C
3.B
4.A
5.B
6.A
7.A
8.C
9.B
10.C
11.A
12.C
13.y=0
14.18
15.12
16.4 950
17.(1)解法一 由a=2b及正弦定理知,sin A=2sin B,
则sin A=2sin(60°-A),
则sin A= QUOTE cs A-sin A,
得tan A= QUOTE .
解法二 ∵c2=a2+b2-2abcs C=4b2+b2-2×2b×b× QUOTE =7b2,
∴c= QUOTE b,
则cs A= QUOTE ,
∴sin A= QUOTE ,
∴tan A= QUOTE .
(2)由题意知S△ACD+S△BCD=S△ABC,
∴ QUOTE bsin 60°+ QUOTE asin 60°= QUOTE absin 120°,则a+b=ab,
∴c2=a2+b2-2abcs C=a2+b2+ab=(a+b)2-(a+b),
则c= QUOTE .
由a+b=ab,得 QUOTE =1,则a+b=( QUOTE )(a+b)=1+1+ QUOTE ≥4,当且仅当a=b时等号成立.
令a+b=t,则△ABC的周长为a+b+c=t+ QUOTE =t+ QUOTE (t≥4).易知函数y=t+ QUOTE 在[4,+∞)上单调递增,
∴当t=4,即a=b=2时,△ABC的周长取得最小值4+ QUOTE =4+2 QUOTE .
∴△ABC周长的最小值为4+2 QUOTE .
18.(1)易知△CDE为等边三角形,CE∥AB,
又E为AD的中点,AD=2EC=4AB=4,所以AE=2.
在△ABE中,由余弦定理得BE2=AE2+AB2-2AB·AEcs60°=3,
所以BE2+AB2=AE2,所以BE⊥AB.
又AB∥CE,所以BE⊥CE.
又平面PCE⊥平面ABCE,平面PCE∩平面ABCE=CE,
BE⊂平面ABCD,
所以BE⊥平面PCE,所以BE⊥PC.
(2)由(1)知BE⊥EC,所以以E为坐标原点,EB,EC所在直线分别为x轴,y轴,经过点E且与平面ABCE垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A( QUOTE ,-1,0),B( QUOTE ,0,0),P(0,1, QUOTE ),
所以 QUOTE =(0,1,0), QUOTE =(- QUOTE ,1, QUOTE ).
设平面PAB的法向量为n2=(x,y,z),
则 QUOTE 即 QUOTE 则y=0,令x=1,则z=1,
所以平面PAB的一个法向量为n2=(1,0,1),
易知平面ABE的一个法向量为n1=(0,0,1).
故cs= QUOTE .
易知二面角P-AB-E为锐二面角,
所以二面角P-AB-E的大小为45°.
19.(1)(i)非贫困村的GDP的平均值为
QUOTE =54(万元).
贫困村的GDP的平均值为
QUOTE =26(万元).
(ii)∵贫困村与非贫困村的抽样比为2∶3,
∴该地区贫困村的个数为80,非贫困村的个数为120,
∴该地区2018年度的GDP的总值约为26×80+54×120=2 080+6 480=8 560(万元).
(2)由题意及(i)知GDP低于贫困村GDP平均值的村有3个,
则X的所有可能取值为0,1,2,3,则
P(X=0)= QUOTE ,P(X=1)= QUOTE ,P(X=2)= QUOTE ,P(X=3)= QUOTE ,
∴X的分布列为
E(X)=0× QUOTE +1× QUOTE +2× QUOTE +3× QUOTE .
20.(1)将(1,e)代入 QUOTE =1,得 QUOTE =1,
即 QUOTE =1,从而得1+ QUOTE =a2,结合a2=b2+c2,得b2=1.
因为椭圆的长轴长是短轴长的两倍,所以a=2b,故a2=4.
所以椭圆E的方程为 QUOTE +y2=1.
(2)由(1)可知A(1, QUOTE ),当直线BC的斜率不存在时,易知△ABC的面积为1.
当直线BC的斜率存在时,设其方程为y=kx,代入 QUOTE +y2=1,得
(4k2+1)x2-4=0,从而
B,C两点的坐标分别为( QUOTE ,k QUOTE ), QUOTE , QUOTE 或( QUOTE ,-k QUOTE ),( QUOTE ,k QUOTE ),
所以|BC|= QUOTE .
又点A到直线BC的距离d= QUOTE ,
所以S△ABC=|k- QUOTE |· QUOTE
= QUOTE
= QUOTE .
记t=k- QUOTE ,则S△ABC= QUOTE
= QUOTE ≤2,
当且仅当 QUOTE =- QUOTE ,即k= QUOTE 时等号成立,
故当△ABC的面积最大时,直线BC的方程为y= QUOTE .
21.(1)依题意得,函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-2ax-1≥0.
若a≤0,则x∈(-∞,0)时,f'(x)≤ex-1<0,不符合题意.
若a>0,记g(x)=ex-2ax-1,则 QUOTE =ex-2a,令 QUOTE =0,得x=ln 2a,
所以当x∈(-∞,ln(2a))时, QUOTE <0,g(x),即 QUOTE 单调递减,
当x∈(ln(2a),+∞)时, QUOTE >0,g(x),即 QUOTE 单调递增,
故f'(x)有最小值f'(ln(2a)).
①若a= QUOTE ,则2a=1,从而f'(x)的最小值为 QUOTE =0,
故f'(x)≥0,此时f(x)单调递增,符合题意.
②若0所以x∈(ln(2a),0)时,f'(x)单调递增.
又f'(0)=0,所以x∈(ln(2a),0)时, QUOTE <0,f(x)单调递减,不符合题意.
③若a> QUOTE ,则ln(2a)>0,
所以x∈(0,ln(2a))时,f'(x)单调递减.
又f'(0)=0,所以x∈(0,ln(2a))时, QUOTE <0,f(x)单调递减,不符合题意.
综上可得,若f(x)在定义域内单调递增,则实数a= QUOTE .
(2)由(1)知,
a≤0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
从而f(x)有唯一的最小值f(0)=0,符合题意.
a= QUOTE 时,f(x)单调递增,f(x)有唯一的零点x=0,符合题意.
a>0,且a≠ QUOTE 时,
由(1)知f'(x)min=f'(ln(2a))因为- QUOTE <1- QUOTE ≤ln x≤x-1所以f'(2a)=e2a-4a2-1>0(因为ex>x2+1(x>0)), QUOTE = QUOTE >0,
故存在x1∈(- QUOTE ,ln(2a)),x2∈(ln(2a),2a),使得f'(x1)=f'(x2)=0.
又f(0)=f'(0)=0,所以x1=0或x2=0.
若0=x1 QUOTE 时,
因为ex> QUOTE x3+x+1(x>0),
所以f(6a)=e6a-a(6a)2-6a-1> QUOTE (6a)3-36a3=36a3>0,
从而f(0)=0,f(ln(2a))<0,f(6a)>0,从而f(x)有两个零点;
若x1f(0)=0,f(x1)>0,f(- QUOTE )= QUOTE -a(- QUOTE )2+ QUOTE -1<0,所以f(x)有两个零点.
所以实数a的取值范围为{a|a≤0或a= QUOTE }.

22.(1)如图,OB为圆C的直径,A(ρ,θ),
则∠ABO=θ- QUOTE ,2 QUOTE sin(θ- QUOTE )=ρ,
化简可得圆C的极坐标方程为ρ=-2 QUOTE cs θ.
(2)由题意知,直线l经过定点( QUOTE , QUOTE ),
由(1)知圆C的圆心的直角坐标为(- QUOTE ,0),半径r= QUOTE ,
当直线l的斜率不存在,即α= QUOTE 时,显然不符合题意,
所以直线l的斜率存在,设斜率k=tanα,
则直线l的方程为y=k(x- QUOTE )+ QUOTE ,即kx-y+ QUOTE (1-k)=0,
从而圆心C到直线l的距离d= QUOTE ,
解得k=0或k= QUOTE ,
即tanα=0或tanα= QUOTE .
所以α的正切值为0或 QUOTE .
23.(1)若a≥2,则f(x)= QUOTE 显然其最小值为a-2,
依题意得a-2=2,解得a=4;
若0依题意得2-a=2,解得a=0,不符合题意.
故a=4.
因为a=4,所以f(x)= QUOTE
所以f(x)≤4的解集为[1,5].
(2)由(1)知α=1,β=5,x+y=1,
所以 QUOTE =( QUOTE )(x+y)=6+ QUOTE ≥6+2 QUOTE ,当且仅当 QUOTE 时等号成立.
所以 QUOTE 的最小值为6+2 QUOTE .
评卷人
得分


一、选择题(共12题，每题5分，共60分)
A.{x|3B.{4}
C.{0,4}
D.{x|3≤x≤4}
A.0
B.1
C.-1
D.-i
A.[- QUOTE , QUOTE ]
B.[-1, QUOTE ]
C.[-1,1]
D.[- QUOTE , QUOTE ]
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A.1
B.2- QUOTE
C.2
D.2+ QUOTE
A.2或 QUOTE
B. QUOTE
C.1或-1
D.1
A.3 QUOTE
B.3 QUOTE
C.9
D.6
A.- QUOTE
B.2- QUOTE
C.-2- QUOTE
D. QUOTE
A.-1
B.0
C.1
D.2
A.1
B.2
C.4
D.3
A. QUOTE π
B. QUOTE π
C.π
D.2π
A.(-∞, QUOTE )
B.[ QUOTE ,+∞)
C.(-∞, QUOTE ]
D.(- QUOTE ,0)
评卷人
得分


二、填空题(共4题，每题5分，共20分)
评卷人
得分


三、解答题(共7题，每题12分，共84分)
X
0
1
2
3
P