2014年北京怀柔中考一模数学练习题

这是一份2014年北京怀柔中考一模数学练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −5 的相反数是
A. 15B. −15C. −5D. 5

2. 党中央、国务院从扩大就业等方面保障和增加居民收入，据统计 2013 年，全国城镇新增就业人数 1310 万人，将 1310 用科学记数法表示应为
A. 13.1×102B. 1.31×103C. 1.31×104D. 0.131×104

3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30∘，∠2=50∘，则 ∠3 的度数等于
A. 50∘B. 30∘C. 20∘D. 15∘

4. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷得面朝上的点数小于 3 的概率为
A. 16B. 12C. 14D. 13

5. 如图，铁路道口的栏杆短臂长 1 m，长臂长 16 m．当短臂端点下降 0.5 m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）
A. 4 mB. 6 mC. 8 mD. 12 m

6. 在下列某品牌 T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是
A. B.
C. D.

7. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有 9 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生成绩的
A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差

8. 在矩形 ABCD 中，AB=23，BC=6，点 E 为对角线 AC 的中点，点 P 在边 BC 上，连接 PE，PA．当点 P 在 BC 上运动时，设 BP=x，△APE 的周长为 y，下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 函数 y=1x−2 中自变量 x 的取值范围是 ．

10. 分解因式：ab2−4a= ．

11. 请写出一个在各自象限内，y 的值随着 x 值的增大而减小的反比例函数的表达式 ．

12. 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图 ①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图 ②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图 ③；如此反复操作下去，则第 4 个图形中直角三角形的个数有 个；第 2014 个图形中直角三角形的个数有 个．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 已知：如图，点 A，B，C 在同一直线上，AD∥CE，AD=AC，∠D=∠CAE．求证：DB=AE．

14. 计算：2014−20130+12−2cs30∘+12−1

15. 解不等式组：x−3<0,2x+1≥x+3.

16. 已知 3x2+2x−1=0，求代数式 3xx+2+x−22−x−1x+1 的值．

17. 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同．求原计划每天生产多少台机器．

18. 已知：关于 x 的一元二次方程 m−1x2−2mx+m+1=0m>1．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数?

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC=45∘，E，F 分别在 CD 和 BC 的延长线上，AE∥BD，∠EFC=30∘，AB=2．求 CF 的长．

20. 学生的上学方式是初中生生活自理能力的一种反映．为此，怀柔区某初三数学老师组织本班学生，运用他们所学的统计知识，对初一学生上学的四种方式：骑车、步行、乘车、接送，进行抽样调查，并将调查的结果绘制成图（1）、图（2）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）抽样调查的样本容量为 ，其中步行人数占样本容量的 %，骑车人数占样本容量的 %．
（2）请将图（1）补充完整．
（3）根据抽样调查结果，你估计该校初一年级 800 名学生中，大约有多少名学生是由家长接送上学的?

21. 如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 于点 D，E 为 BC 边的中点，连接 DE．
（1）求证：DE 与 ⊙O 相切．
（2）若 tanC=52，DE=2，求 AD 的长．

22. 如图，定义：在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，锐角 α 的邻边与对边的比叫做角 α 的余切，记作 ctanα，即 ctanα=角α的邻边角α的对边=ACBC．根据上述角的余切定义，解答下列问题：
（1）ctan60∘= ．
（2）求 ctan15∘ 的值．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=2x2+bx+c 的图象经过 −1,0 和 32,0 两点．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）直接写出当 −32（3）将一次函数 y=1−mx+2 的图象向下平移 m 个单位后，与二次函数 y=2x2+bx+c 图象交点的横坐标分别是 a 和 b，其中 a<2
24. 问题：在 △ABC 中，AB=AC，∠A=100∘，BD 为 ∠B 的平分线，探究 AD，BD，BC 之间的数量关系．请你完成下列探究过程：
（1）观察图形，猜想 AD，BD，BC 之间的数量关系为 ．
（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出 ∠ABC=∠C=40∘ 后，可进一步推出 ∠ABD=∠DBC= 度．
（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在 BC 上截取 BE=BD，连接 DE，在此基础上继续推理可使问题得到解决．你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明．也可以选用其它的方法证明你的猜想．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A−2,0，B2,0，AC⊥AB 于点 A，AC=2，BD⊥AB 于点 B，BD=6，以 AB 为直径的半圆 O 上有一动点 P（不与 A，B 两点重合），连接 PD，PC，我们把由五条线段 AB，BD，DP，PC，CA 所组成的封闭图形 ABDPC 叫做点 P 的关联图形，如图 1 所示．
（1）如图 2，当 P 运动到半圆 O 与 y 轴的交点位置时，求点 P 的关联图形的面积．
（2）如图 3，连接 CD，OC，OD，判断 △OCD 的形状，并加以证明．
（3）当点 P 运动到什么位置时，点 P 的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C
4. D
5. C
6. C
7. B
8. A【解析】
过点 E 作关于 BC 的对称点 Eʹ．连接 PEʹ，则 PEʹ=PE．
三角形的周长 y=AE+AP+PE=AE+AP+PEʹ．
所以 y 的变化是由 AP+PEʹ 引起的，
当 A，P，Eʹ 三点共线时，y 值可达到最小，
所以 y 先变小后变大；
当点 P 在 B 处时，即 x=0 时，PE 为直角三角形 ABC 斜边的中线，此时 y=23+43=63．
综上，可得出结果．
第二部分
9. x≠2
10. ab+2b−2
11. y=2x（答案不唯一）
12. 8，4028
【解析】图①、图②的直角三角形的个数相同，都是 4 个，
图③、图④的直角三角形的个数相同，都是 4×2 个，
以此类推，
图 2013 、图 2014 的直角三角形的个数相同，都是 4×20142=4028 个．
第三部分
13. ∵AD∥CE，
∴∠DAB=∠C，
在 △ABD 和 △CEA 中
∠D=∠CAE,AD=AC,∠DAB=∠C,
∴△ABD≌△CEA（ASA），
∴DB=AE．
14. 原式=1+23−2×32+2=1+23−3+2=3+3.
15. 解 x−3<0 得
x<3,
解 2x+1≥x+3 得
x≥1,
所以不等式组的解集为 1≤x<3．
16. 3xx+2+x−22−x−1x+1=3x2+6x+x2−4x+4−x2+1=3x2+2x+5.
∵3x2+2x−1=0，
∴3x2+2x=1．
∴原式=6．
17. 设原计划每天生产 x 台机器，则现在可生产 x+50 台．依题意得
600x+50=450x.
解得
x=150.
经检验 x=150 是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天生产 150 台机器．
18. （1） ∵Δ=−2m2−4m−1m+1=4>0，
∴ 方程总有两个不相等的实数根．
（2） ∵Δ=−2m2−4m−1m+1=4，m−1≠0，由求根公式解得
x1=2m+22m−1=m+1m−1,x2=2m−22m−1=1.
∵x1=m+1m−1=1+2m−1，方程的两个根都为正整数，m 是整数且 m>1，
∴2m−1 是正整数时．
∴m−1=1 或 2，
∴m=2 或 3．
19. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∵AE∥BD，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形．
∴AB=DE=CD，即 D 为 CE 中点．
∵AB=2，
∴CE=4．
又 AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=45∘．
如图，过点 E 作 EH⊥BF 于点 H．

∵CE=4，∠ECF=45∘，
∴EH=CH=22．
∵∠EFC=30∘，
∴FH=26．
∴CF=22+26．
20. （1） 50；30；40
（2）
补充完整的图如图所示．
（3） 800×10%=80（名）．
答：根据抽样调查结果，大约有 80 名学生是由家长接送上学的．
21. （1）
如图，连接 BD，OD，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90∘．
∵E 为 BC 边的中点，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠C．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A．
∵∠ABC=90∘，
∴∠A+∠C=90∘，
∴∠EDC+∠ODA=90∘．
∴∠ODE=90∘，
∴OD⊥DE 于点 D．
∵ 以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 于点 D，
∴D 是半径的外端，
∴DE 与 ⊙O 相切．
（2） ∵∠BDC=90∘，E 为 BC 边的中点，
∴DE=12BC．
∵DE=2，
∴BC=4．
在 Rt△ABC 中，tanC=ABBC，
∴AB=BC⋅52=25．
在 Rt△ABC 中，
AC=AB2+BC2=252+42=6，
又 △ABD∽△ACB，
∴ADAB=ABAC，即 AD25=256，
∴AD=103．
22. （1） 33
（2）
如图，作 △DEG，使 DE=GE，∠D=15∘．过点 G 作 GH⊥DE 的延长线于点 H．
∵ED=EG，∠D=15∘．
∴∠2=30∘，
在 Rt△GEH 中，
∵∠H=90∘，∠2=30∘．
∴ 设 GH=x，则 EH=3x，GE=DE=2x，
∴DH=DE+EH=2x+3x．
∴ctan15∘=DHGH=2x+3xx=2+3．
23. （1） 由二次函数的图象经过 −1,0 和 32,0 两点，得
0=2−b+c,0=92+32b+c,
解这个方程组得
b=−1,c=−3.∴
此二次函数的表达式为 y=2x2−x−3．
（2）
如图，当 x=−32 时，y=3，当 x=1 时 y=−2，
又二次函数的顶点坐标是 14,−258．
∴ 当 −32 （3） 将一次函数 y=1−mx+2 的图象向下平移 m 个单位后的一次函数表达式为 y=1−mx+2−m．
∵y=1−mx+2−m 与二次函数 y=2x2+bx+c 图象交点的横坐标为 a 和 b，
∴2x2−x−3=1−mx+2−m，
整理得 2x2+m−2x+m−5=0．
∵a<2 ∴a≠b，
∴△=m−22−4×2m−5=m−62+8>0，
∴m≠1．
∵a 和 b 满足 a<2 ∴ 如图，当 x=2 时，1−mx+2−m>2x2−x−3，
把 x=2 代入 1−mx+2−m>2x2−x−3，
解得 m<13，
∴m 的取值范围为 m<13 的全体实数．
24. （1） AD+BD=BC
【解析】
画出图形如图，在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF，在 BC 上截取 BE=BD，连接 DE．
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD，
∴AD=DF．
∵∠A=100∘，
∴∠DFB=∠A=100∘，
∴∠DFC=80∘．
∵BE=BD，∠DBC=20∘，
∴∠BED=∠BDE=80∘，∠DFE=∠FED，
∴DF=DE．
∵∠FED=80∘，∠C=40∘，
∴∠EDC=40∘，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴AD=EC，
∴AD+BD=BC．
（2） 20
（3）
画出图形如图，在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF．
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD，
∴AD=DF．
∵∠A=100∘，
∴∠DFB=∠A=100∘，
∴∠DFC=80∘．
∵BE=BD，∠DBC=20∘，
∴∠BED=∠BDE=80∘，∠DFE=∠FED，
∴DF=DE．
∵∠FED=80∘，∠C=40∘，
∴∠EDC=40∘，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴AD=EC，
∴AD+BD=BC．
25. （1） ∵A−2,0，
∴OA=2．
∵P 是半圆 O 上的动点，P 在 y 轴上，
∴OP=2，∠AOP=90∘．
∵AC=2，
∴ 四边形 AOPC 是正方形，
∴ 正方形的面积是 4．
又 BD⊥AB，BD=6，
∴ 梯形 OPDB 的面积为 OP+DB×OB2=2+6×22=8，
∴ 点 P 的关联图形的面积是 12．
（2） 判断 △OCD 是直角三角形．
证明如下：
如图，延长 CP 交 BD 于点 F．
则四边形 ACFB 为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45∘，
又四边形 AOPC 是正方形，
∴∠OCP=45∘，
∴∠OCD=90∘，
∴OC⊥CD，
∴△OCD 是直角三角形．
（3） 如图，连接 OC 交半圆 O 于点 P，则点 P 即为所确定的点的位置．
理由如下：
连接 CD，梯形 ACDB 的面积为 AC+DB×AB2=2+6×42=16 为定值，
要使点 P 的关联图形的面积最大，就要使 △PCD 的面积最小，
∵CD 为定长，
∴P 到 CD 的距离就要最小．
∵AC⊥OA，AC=OA，
∴∠AOC=45∘，过 C 作 CF⊥BD 于 F，则 ACFB 为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45∘，
∴OC⊥CD，OC=22，
∴PC 在半圆外，设在半圆 O 上的任意一点 Pʹ 到 CD 的距离为 PʹH，则 PʹH+PʹO>OH>OC．
∵OC=PC+OP，
∴PʹH>PC，
∴ 当点 P 运动到半圆 O 与 OC 的交点位置时，点 P 的关联图形的面积最大．
∵CD=42，CP=22−2，
∴△PCD 的面积为 12CP⋅CD=12×42×22−2=8−42，
又梯形 ACDB 的面积为 AC+DB×AB2=2+6×42=16，
∴ 点 P 的关联图形的最大面积是 梯形ACDB的面积−△PCD的面积=16−8−42=8+42．