专题11.1 三角形的边（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题11.1  三角形的边（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；
2. 理解三角形三边的关系，利用三边关系求边的取值范围。

【知识点梳理】

要点一、三角形的定义及分类

1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，

图一

特别说明：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.

（2）构成三角形的三个条件：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.

(3) 三角形的表示法：如图一，三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．

 2．三角形的分类

(1)按角分类：

特别说明：

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

(2)按边分类：

特别说明：

①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

②等边三角形：三边都相等的三角形.

要点二、三角形的三边关系

三角形任意两边的和大于第三边.任意两边之差小于第三边，

如图：即：a+b>c, a+c>b, b+c>a,

       图二

 特别说明：

（1）理论依据：两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用方法：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系.

【典型例题】

类型一、三角形的定义及表示 

1． 如图，图中有_____个三角形，以AD为边的三角形有_____．

【答案】3    △ABD，△ADC   

【解析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

解：图中共有3个三角形；它们是△ABD；△ADC；△ABC；

以AD为边的三角形有△ABD，△ADC；

故答案为：3；△ABD，△ADC

【点拨】此题主要考查了三角形中的重要元素，关键是正确理解三角形的定义．

举一反三：

【变式】如图， 以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．

【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.

类型二、三角形的分类 

2．锐角三角形的三个角都是 ________；直角三角形中必有一个角是______；钝角三角形中也必定有一个角是_________．

【答案】锐，    直，    钝．   

【分析】根据锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的意义直接填写即可．

解：锐角三角形的三个角都是锐角；直角三角形中必定有一个是直角；钝角三角形中也必定有一个角是钝角．

故答案为锐，直，钝．

【点拨】此题考查三角形按角的大小分三类：锐角△、直角△和钝角△．

举一反三：

【变式】 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．

要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；

（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；

（3）点在格点上．

解：经计算可得下图中：图①面积为；图②面积为1；图③面积为，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．

故本题答案如下：

【点拨】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．

类型三、三角形的三边关系

3. 已知的三边长分别为a， b， c.

(1)若a， b， c满足，试判断的形状：

(2)若a=5， b=2， 且c为整数，求的周长的最大值及最小值.

【答案】（1）是等边三角形；（2）最小值：11，最大值：13.

【分析】

（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；

（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．

解：(1)  ∵，

∴，

∴.a=b=c，

∴ 是等边三角形.

(2)∵a=5， b=2，

∴5-2<c<5+2.即3<c<7，

∵c为整数，

∴c=4，5，6，

∴.当c=4时，△ABC的周长最小，最小值=5+2+4=11；

当c=6时，△ABC的周长最大，最大值=5+2+6=13.

【点拨】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．

举一反三：

【变式】 已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足，且c为偶数，则△ABC的周长为_____________

【答案】10

【分析】先利用配方法把原式变形，再根据非负数的性质求出，，然后根据三角形三边关系确定c，即可解答．

解：，

，

，

，，

边长的范围为．

边长的值为偶数，

，

的周长为．

故答案为：10．

【点拨】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．

4． 若a，b，c是的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．

【答案】3c+a﹣b．

【分析】根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．

解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，

得a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c+a﹣b＞0．

∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|

＝b+c﹣a+c+a﹣b+c+a﹣b

＝3c+a﹣b．

【点拨】本题考查了三角形的三边关系、绝对值的性质、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．

举一反三：

【变式1】  已知，，，且m>n>0．

（1）比较a，b，c的大小；

（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．

【答案】（1）a＞b＞c；（2）见解析

【分析】

（1）a、b、c两两作差可得出a、b、c之间的大小关系；

（2）对于任意一个三角形的三边a，b，c，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

解：（1）∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0；

a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0；

b-c= m2-mn=m（m-n）＞0

∴a＞b＞c；

（2）由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c

∵a-b= m2+n2-m2=n2＜mn

∴a-b＜c

∴以a、b、c为边长的三角形一定存在．

【点拨】本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在．

【变式2】  已知，的三边长为，，．

（1）求的周长的取值范围；

（2）当的周长为偶数时，求．

【答案】（1）的周长；（2），或．

【分析】

（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值．

 解：（1） 的三边长分别为，，，

，即，

的周长，

即：的周长；

（2）的周长是偶数，由（1）结果得的周长可以是，或，

的值为，或．

【点拨】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．