专题14.18 因式分解-平方差公式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.18  因式分解-平方差公式（知识讲解）

【学习目标】

1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.

2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；

3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.

【要点梳理】

要点一、公式法——平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.

         （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.

（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.

 要点二、因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．

要点三、因式分解注意事项

（1）因式分解的对象是多项式；

（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

【典型例题】

类型一、公式法——平方差公式 

1、分解因式

（1）4x2-16                            （2）16-m2

（3）                    （4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

【答案】（1）；（2）；（3）；

（4）；

【分析】

（1）先提取公因式，再运用平方差公式分解；

（2）直接运用平方差公式分解；

（3）直接运用平方差公式分解，注意合并即可；

（4）先提取公因式，再运用平方差公式分解；

【详解】

（1）原式==

（2）原式=

（3）原式==

（4）原式==

【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法和使用顺序是解题关键．

举一反三：

【变式1】因式分解：

(1) ；         (2) ．

【答案】（1），（2）

【分析】

（1）先提公因式，再利用平方差公式进行分解因式即可；

（2）运用平方差公式进行两次分解因式即可解答．

解：（1）

=

=；

（2） 

=

=．

【点拨】本题考查了运用提公因式法和平方差公式法分解因式，难度不大，属于基础题，熟练掌握基本运算公式和方法是解答的关键．

2、

【答案】

【分析】首先根据平方差公式进行因式分解，然后对每项合并同类项．

解：原式

【点拨】本题考查因式分解，熟练利用提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题关键．

【变式2】分解因式

（1）            （2）

（3）

【答案】（1）；（2）；

（3）

【分析】

（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式可得到答案；

（2）利用分组分解法，把原式化为：，再利用平方差公式分解即可得到答案；

（3）先把原式化为：，再利用平方差公式分解为：，再次利用平方差公式把分解即可得到答案．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

【点拨】本题考查的是因式分解，掌握提公因式与公式法，分组分解法分解因式是解题的关键．

类型二、平方差公式的应用

3、n为整数，证明：（2n+1）2－1能被8整除．

【分析】先利用因式分解把原式化为，根据n和n+1是两个连续整数，能被2整除即可求证本题．

解:（2n+1）2－1=，

∵n是整数，

∴n和n+1是两个连续整数，能被2整除，

∴能被8整除，

即（2n+1）2－1能被8整除．

【点拨】本题考查的是因式分解的应用，用平方差公式把原式化为是解题的关键．

举一反三：

【变式1】（2020·湖北黄石市·黄石八中九年级一模）已知求的值．

【答案】8

【分析】先把分解因式，然后把x，y的值代入化简即可.

解：

【点拨】本题考查了代数式的运算，运用平方差公式对原式进行因式分解是解题的关键.

 【变式2】 （2020·河南洛阳市·八年级期末）已知的三边长、、满足条件，

试判断的形状．

【答案】直角三角形或等腰三角形，理由如下：

【分析】利用平方差公式和提公因式法将等式左边的式子进行因式分解，得到两式的乘积等于零的形式，则两因式中至少有一个因式等于零转化为两个等式；根据等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理即可得出结论．

解：是直角三角形或等腰三角形，理由如下：

∵，

∴，

因式分解得，∴或，

当时，，则是直角三角形，

当时，，则是等腰三角形，

∴是直角三角形或等腰三角形．

【点拨】本题考查了因式分解的实际应用、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定，解题的关键是掌握平方差公式和提公因式法．