专题12.26 三角形全等几何模型-斜边长的中线（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题12.26 三角形全等几何模型-斜边长的中线

（专项练习）

通过斜边长的中线达到线段、角、面积等等的变换，此模型在几何证明中占据相当重要的地位，在压轴题里常常有此类题的身影，因为通过此模型的学习，对初学三角形全等的学生来讲，是十分必要的，对提升学生几何综合能力是相当重要。本专题汇编了一些斜边上中线的常考题，供师生选择使用。

知识储备：

                                                              图一  

                                                                     图二

一、填空题

1．一副三角板如图摆放，点是角三角板的斜边的中点，.当角三角的直角顶点绕着点旋转时，直角边分别与相交于点则的面积为____________．

二、解答题

2．如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上任意一点，点为的中点，过点作交于点．求证：为定值．

3．已知：在中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），求证：．

4．如图在中，，，为的中点．

（1）写出点到的三个顶点、、的距离的大小关系．

（2）如果点、分别在线段、上移动，移动中保持，请判断的形状，并证明你的结论．

（3）当点、分别在、上运动时，四边形的面积是否发生变化？说明理由．

5．已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点，

（1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．

（2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

6．已知：如图，等腰直角三角形中，，为中点，、分别为、上的点，且满足．连接．求证：．

7．如图，在中，，，点D为斜边的中点，，的顶点E，F分别在边，上，

求的长．

8．如图，在中，，O为的中点，D，E分别在上，且．

求证：．

9．如图，在中，是的中点，点E在上，点F在上，且．

求证：．

10．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD=BD，∠1=∠2，求证：CM⊥AD。

11．如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F.

（1）若AB=2,AD=3,求EF的长；

（2）若G是EF的中点,连接BG和DG,求证：DG=BG.

12．如图所示，中，，于，于

，求证：.

13．如图所示，四边形中，，，点是的中点，求的度数.

14．如图所示，中，为的中点，为上一点，于点，连结．求证：．

15．如图所示，，为的中点，求证：.

16．如图所示，中，为延长线上一点，过作，且，求的度数．

17．如图所示，中，是的中点，交BA的延长线于点交的延长线于点，求证：．

18．如图所示，中，，于，为的中点，求证：.

19．如图所示，和中，，为的中点，，交于，，求证：.

20．如图所示，在中，于，于，点，分别是，的中点，求证：.

参考答案

1．

【分析】连结证明，根据即可求解．

【详解】

解:连结如图，

点是角三角板的斜边的中点，

平分，

在和中，

，

．

【点拨】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．

2．证明见解析

【分析】连接CD，证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，进一步证明CE+CF=BC=，从而得到结论．

【详解】

证明：连接CD，如图，

∵△ABC是等腰直角三角形，且D为AB的中点，

∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，AD=BD=CD

∴∠DCA=∠DCB=∠DBC=45°

又DE⊥DF

∴∠EDC+∠FDC=90°

而∠FDC+∠FDB=90°

∴∠EDC=∠FDB

在△CDE和△BDF中，

∴△CDE≌△BDF

∴CE=BF

∵BC=AC=a

∴CE+CF=BE+CF=BC=AC=a，

故：为定值．

【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE=BF是解答此题的关键．

3．（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△AEC和△CGB一组对应边、一组对应角相等，，；然后利用同角的余角相等，证得；两角及其夹边对应相等则两三角形全等．

（2）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△BCE和△CAM一组对应边、一组对应角相等，，；然后利用同角的余角相等，证得；两角及其中一角的对边对应相等则两三角形全等．

【详解】

（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°，

又∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG，

（2）证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC，

又∵∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中，

∴△BCE≌△CAM（AAS）．

【点拨】本题考查全等三角形判定定理，从题中找到对应边、角的信息，灵活运用三角形判定定理是解题关键．

4．（1）；（2）是等腰直角三角形，证明见解析；（3）四边形的面积不变，理由见解析

【分析】（1）连接OA，由为的中点可得，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可得．

（2）由（1）不难证明，结合已知条件进而证明≌，即可得，，即，所以是等腰直角三角形．

（3）由（2）可得=，进而将四边形的面积转化为的面积，的面积保持不变，故四边形的面积保持不变．

【详解】

（1）连接OA，

中，为的中点，

，，

，

．

（2）是等腰直角三角形，证明如下：

，为的中点，

，

，

，

，

在与中，

，

≌，

，，

，

是等腰直角三角形．

（3）四边形的面积保持不变，理由如下：

由（2）可得： =，

．

的面积保持不变

四边形的面积保持不变．

【点拨】本题主要考查直接三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质定理并灵活运用是解题关键．

5．（1）见解析；（2）△DEF为等腰直角三角，证明见解析

【分析】（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
（2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．

【详解】

（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=AD．∴∠B=∠DAC=45°  又BE=AF，

 ∴△BDE≌△ADF（SAS）．

∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．

∴△DEF为等腰直角三角形．

（2）△DEF为等腰直角三角形．

证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：连接AD，∵AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC=90°，D为BC的中点，

∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），

∴∠DAC=∠ABD=45°．

∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE，

∴△DAF≌△DBE（SAS）．∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．

∴△DEF仍为等腰直角三角形．

【点拨】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．

6．见解析

【分析】连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得，平分，，从而得出，再利用SAS证出，即可得出结论．

【详解】

解：连接AD

∵为等腰直角三角形，为中点，

∴，平分，，

∴，

在和中

，

∴，

∴

【点拨】此题考查的是等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．

7．6

【分析】连接，由，得，由点D是斜边的中点，得到，且，，等量代换得到，在和中由AAS证得， 故，即可得解.

【详解】

连接，

∵，，

∴，

∵点D是斜边的中点，

∴，，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴.

【点拨】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质.正确作出辅助线是解决此题的关键.

8．证明见解析．

【分析】如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得，，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据角的和差、等量代换可得，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得，据此根据线段的和差即可得证．

【详解】

如图，连接，

∵，O为的中点，

∴，（等腰三角形的三线合一），

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴．

【点拨】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．

9．详见解析

【分析】首先可判断△ABC是等腰直角三角形，连接CD，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，再利用全等三角形的性质即可证明结论成立．

【详解】

证明：如图，连接．

，

是等腰直角三角形，

．

为的中点，

平分．

，

．

在和中，

，

，

．

，

，即．

【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用等腰直角三角形的性质得出证明全等需要的条件，难度一般．

10．见解析.

【解析】

【分析】过点C作CE⊥AB交AB于点E，交AD于点F，AD与CM交于点G，根据∠B=∠BCE=45°，CD=BD，∠1=∠2证明△CDF≌△BDM，得到CF=BM，然后再由AC=BC及通过SAS证明△ACF≌△CBM，得到∠CAF=∠BCM，再根据角之间的等量代换可证明∠CFG+∠ECM=90°，问题得证.

【详解】

证明：过点C作CE⊥AB交AB于点E，交AD于点F，AD与CM交于点G，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠B=∠BCE=45°，

在△CDF和△BDM中，，

∴△CDF≌△BDM（ASA），

∴CF=BM，

在△ACF和△CBM中，，

∴△ACF≌△CBM（SAS），

∴∠CAF=∠BCM，

∵∠BCM +∠ECM =∠CAF+∠EAF=45°，

∴∠ECM =∠EAF，

∵∠AFE=∠CFG，且∠AFE+∠EAF=90°，

∴∠CFG+∠ECM=90°，即∠CGF=90°，

∴CM⊥AD.

【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，寻找合适的全等三角形是解题关键，有一定难度．

11．（1）EF＝；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）由AE平分∠BAD，可得∠DAF＝45°，从而∠F＝45°，可证△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，求出CF的长，最后根据勾股定理即可求出EF的长；

（2）连结CG，易证∠BEG＝∠DCG＝135°，根据“SAS”可证△BEG≌△DCG，从而可得DG＝BG.

【详解】

解：（1）在矩形ABCD中

∵AE平分∠BAD,

∴∠DAF＝45°,

∴∠F＝45°，

∴△ADF，△ECF都是等腰直角三角形，

∴DF＝AD＝3, CF＝DF－CD= 1.

在Rt△CEF中,

∴EF＝.

（2）连结CG,

∵G是EF中点,

∴CG⊥EF,

∠ECG＝∠CEF＝45°.

∴∠BEG＝∠DCG＝135°.

∴EG＝EF＝CG.

∵AB＝BE＝CD,

∴BE＝CD.

∴△BEG≌△DCG,

∴DG＝BG.

【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，证明△ADF，△ECF都是等腰直角三角形是解（1）的关键，证明△BEG≌△DCG是解（2）的关键.

12．见解析

【解析】

【分析】取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=EF=BF=CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC=45°，然后求出∠AEC+∠BCE=135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE=90°，然后求出∠AFB=90°，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的可得AF=AB，然后证明即可．

【详解】

证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF，

∵CB⊥DE，EA⊥CD，
∴AF=EF=BF=CF=CE，
在△CDE中，∵∠CDE=135°，
∴∠ACE+∠BEC=180°-135°=45°，
∴∠AEC+∠BCE=（90°-∠ACE）+（90°-∠BEC）=180°-45°=135°，
∴∠BFC+∠AFE=（180°-2∠BCE）+（180°-2∠AEC）=360°-2（∠AEC+∠BCE）=360°-2×135°=90°，
∴∠AFB=180°-（∠BCF+∠AFE）=180°-90°=90°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=AB，
∴CE=2AF=2×AB=AB，
即CE=AB．

【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

13．

【解析】

【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=AB=BE，CE=AB=BE，根据三角形的外角性质计算即可；

【详解】

证明：连接DE，

∵∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，
∴DE=AB=BE，CE=AB=BE，
∴ED=EC，∠EDB=∠EBD，∠ECB=∠EBC，
∴∠DEC=∠AED+∠AEC=2∠DBC=120°，
∵ED=EC，
∴∠DCE=×（180°-120°）=30°；

【点拨】本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，遇到直角三角形斜边上的中点时，往往连结斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DE=CE是解题的关键．

14．详见解析

【解析】

【分析】连结AD，过点D作交BG于点F，由等腰直角三角形的性质可得，AD⊥BC，由等角的余角相等得，，根据ASA可证出 ，由全等三角形的对应边相等得AE=BF，DE=DF，则△EDF为等腰直角三角形，即可得 .

【详解】

证明：连结AD，过点D作交BG于点F，

∵为的中点，

∴，AD⊥BC，

∵，∠BAC=90°，

∴，，

∴（ASA）

∴AE=BF，DE=DF，

∵

∴

∴ .

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，本题中求证是解题的关键．

15．见解析

【解析】

【分析】延长交于，易得，BM=MN，由直角三角形斜边中线性质可得CM=MN=BM.

【详解】

证明：延长交于，

∵，

∴CE∥DB，

∴∠D=∠E，

在和中

∴，

，

∵∠BCE=90°，

．

【点拨】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是正确作出辅助线．构造直角三角形.

16．45°

【解析】

【分析】分别过点A、E分别作于于F，于G，由等腰直角三角形的性质可得，由同角的余角相等得，结合已知可证 ，由全等三角形的对应边相等得DF=EG，AF=DG，则 ，即△BEG为等腰直角三角形,即可得的度数．

【详解】

解：分别过点A、E分别作于于F，于G，则，

，

∴，

  ，

，

，，

，

∴△BEG为等腰直角三角形,

．

故答案为45°.

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，本题中作辅助线证出△BEG为等腰直角三角形是解题的关键．

17．详见解析

【分析】连结，根据等腰直角三角形的性质得AD⊥BC，AD=BD，由同角的余角相等得 ，证明 ，即可得出结论．

【详解】

证明：连结，

，，

.

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

18．见解析

【分析】取AC中点F，连接EF、DF，则EF为△ABC的中位线，结合条件可得到∠FEA=2∠A，结合直角三角形的性质可得到∠FDE=∠EFD，得到DE=EF，可得出结论．

【详解】

证明：取AC的中点F，连EF，DF，

则EF为中位线，

∴EF‖BC，BC=2EF，

∴∠FEA=∠B=2∠A，

在直角三角形ACD中，F是斜边BC的中点，

∴DF=CF=AF，

∴∠FDA=∠A，

即有2∠FDA=∠FEA，

∵∠FEA=∠FDA+∠DFE，

∴∠DFE=∠FDA，

∴DE=EF，

∴BC=2DE．

【点拨】本题考查了三角形中位线的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.

19．见解析

【解析】

【分析】连接OD.因为∠BDC=∠BEC=90°，O为BC的中点；所以有=OB=OC，进而∠COD=2∠CBD，∠BOE=2∠BCE；又因为∠BAC=120°；所以有∠CBD+∠BCE=60°，∠COD+∠BOE=120°；所以∠DOE=60°；从而证得△DOE是等边三角形，所以DE=OE.

【详解】

连，

∵为的中点，

∵=OB=OC，

∴∠COD=2∠CBD,∠BOE=2∠BCE.

∵∠BAC=120°，

∴∠CBD+∠BCE=60°，

∴∠COD+∠BOE=120°，

∴∠DOE=60°，

∴△DOE是等边三角形，

∴DE=OE.

【点拨】此题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解答此题的关键是要掌握分析题中的各种信息条件，找到相应的知识来解决问题，然后根据以往做题经验找出解决问题的方法.

20．见解析

【分析】连接ME、MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=ME=BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；

【详解】

证明：连结，，

点分别是和斜边的中点，

= ，又是的中点，

.

【点拨】本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，遇到直角三角形斜边上的中点时，往往连结斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DM=EM是解题的关键．