初中数学 动点问题的函数图像题型及方法归纳总结（原卷+解析卷）

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函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力。用图象解决问题时，要会识图，理清图象的含义。
例1．如图，在△ABC中，AC=BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动。则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（ ）
A．B．C．D．
【解答】
如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在△ABC中，AC=BC，
∴AD=BD；
①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误；
②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；
③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等于零．故C错误；
④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大，故D正确。
例2．已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（A、C除外），作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】
由题意可得：△APE和△PCF都是等腰直角三角形．
∴AE=PE，PF=CF，那么矩形PEBF的周长等于2个正方形的边长．则y=2x，为正比例函数．故选：A．
例3．如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【解答】
点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小；故选：A
例4.如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD＝45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时．设AF＝x，DE＝y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【解答】
解：点C从点A运动到点B的过程中，x的值逐渐增大，DE的长度随x值的变化先变大再变小，
当C与O重合时，y有最大值，
∵x＝0，y＝AB
x＝AB﹣AB时，DE过点O，此时：DE＝AB
x＝AB，y＝AB
所以，随着x的增大，y先增后降，类抛物线故选：A
例5．如图，直线l为抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴，点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右侧），过点P作PA⊥x轴于点A，作PB∥x轴交抛物线于点B，设PA＝h，PB＝m，则h与m的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】
解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1．
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3．
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于（﹣1，0）和（3，0）．
设直线l与PB交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，如图，
则OD＝CE＝1
∵PB∥x轴，抛物线y＝﹣x2+2x+3关于直线x＝1对称
∴PC＝PB
∵PB＝m
∴PC＝
∴PE＝OA＝PC+CE＝+1
∴点P的横坐标为+1
∵点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右侧）
∴+1≥1
∴m≥0
①当点P在x轴及x轴上方时，1≤+1≤3
即当0≤m≤4时
∵点P为抛物线上一动点
∴P点的纵坐标为：﹣+3＝﹣+4
∴PA＝h＝﹣+4
②当点P在x轴的下方时，+1＞3
即m＞4时
∵P点的纵坐标为：﹣+3＝﹣+4
∴PA＝h＝﹣（﹣+4）＝﹣4
∴h与m的函数关系式为：h＝
∵函数h＝﹣+4和h＝﹣4是抛物线的一部分。正确的选项是：A
总结与反思
动点函数图像问题是中考常考题型，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对不同情况进行分类求解：
(1)认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点(时刻)是特殊点(时刻)，这是准确解答的前提和关键。
(2)计算、写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值。
(3)根据解析式选择准确的函数图像或答案，多用排除法。首先，排除不符合函数类形的图像选项，其次，对于相同函数类型的函数图像选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案。

提升练习
1．如图，点E是菱形ABCD边上一动点，它沿A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，下列图象中能反映y与x函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】
因为点E在菱形ABCD上移动，所以可知菱形各顶点向对边作的高为定值，可设高的长为k
如图一，当点E在AB上移动时，将AE作为△ADE底边，则有S△ADE =•AE•k
随着点E移动，AE的长在增大，三角形的面积也是在增大的，y与x满足正比例函数关系；
如图二，当点E在BC上移动时，将AD作为底边，则有S△ADE=•AD•k
点E的移动不会带来AD长度的变化，所以此时三角形面积为定值；
如图三，当点E在CD上移动时，将DE作为△ADE底边，则有S△ADE=•DE•k
随着点E移动，DE的长在减少，三角形的面积也是在减少的，y与x满足正比例函数关系。故选：A
2．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【解答】
①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴=，
即=，
∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合。
3．如图，平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+3交x轴于点B，C，交y轴于点A，点P（x，y）是抛物线上的一个动点，连接PA，AC，PC，记△ACP面积为S．当y≤3时，S随x变化的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【解答】
当y=0时，x2﹣2x+3=0，解得x1=2，x2=6，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（6，0）；
当x=0时，y=x2﹣2x+3=3，则点A的坐标为（0，3）．
抛物线的对称轴为直线x=4，
点A关于直线x=4的对称点为（8，3），
利用待定系数法可求出直线AC的解析式为y=﹣x+3．
过点P作PD∥y轴交AC于点D，如图，设点P的坐标为（x，x2﹣2x+3），
则点D的坐标为（x，﹣x+3），
当0≤x≤6时，
∴DP=﹣x+3﹣（x2﹣2x+3）=﹣x2+x，
∴S=OC•DP=﹣x2+x，
当6＜x≤8时，∴DP=x2﹣2x+3﹣（﹣x+3）=x2﹣x，
∴S=OC•DP=x2﹣x．故选：B
4．如图Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】
解：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M，
∵Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2
∴tan∠CAB＝＝
∴A'M＝x
其面积y＝x•x＝x2
故此时y为x的二次函数，排除选项D．
当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN
其面积y＝x•x﹣（x﹣2）•（x﹣2）＝x﹣1
故此时y为x的一次函数，故排除选项C．
当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN
AF'＝x﹣2，F'N＝（x﹣2），F'B＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，BC＝2
其面积y＝[（x﹣2）+2]×（6﹣x）＝﹣x2+x+3
故此时y为x的二次函数，其开口方向向下，故排除A；
综上，只有B符合题意。
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AC＝2，E为BC上的动点，DE⊥BC交折线B﹣A﹣C于点D，设BE＝x，△BDE的面积为y，则y与x的函数图象符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】
解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝2×＝4．
①当0＜x≤2时，
BE＝x，DE＝BE＝x，
∴△BDE的面积y＝x2，
∴函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线，
故A、C错误；
②当2＜x≤4时，
BE＝x，DE＝CE＝4﹣x，
∴△BDE的面积y＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x，
∴函数图象为开口向下的抛物线，
故B正确，D错误。故选：B