最易混淆的小学数学基础概念

最小的一位数是0还是1
这个问题在很长一段时间内存在争论。先来看小学数学教师用书中“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数叫做几位数。例如，“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但要注意：一般不说0是几位数。
同时，专家也说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。
所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。
０不是最小的一位数。
 为什么0也是自然数? 对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对的传统认知。
于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。2000年，教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。
 

什么是有效数字和无效数字
有效数字是对一个数的近似值的精确程度。在取舍时，同一个近似数保留的有效数字多，就比保留的有效数字少更精确。
一般来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个非零的数字起，到那一位上的所有数字叫做这个数的有效数字。
如近似数0.00309有三个有效数字：3、0、9；０.520也有三个有效字：5、2、0。而0.00309中左边的三个零，０.520中左边的一个零，叫做无效数字。

加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算
“加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”似乎成了许多老师的口头禅，这其实是一种误解。
例如，加法“2+3=5”，其逆算为“5-2=3”“5-3=2”。故此，加法的逆运算只有减法。而减法“5-2=3”，其逆算有“5-3=2”，“2+3=5”。故此，减法的逆运算有减法和加法两种。
综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。
同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。
 

为什么不写“倍”
在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时，很多学生会自然提出这样的疑问，例如，“饲养小组养了12只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？”为什么“12÷3＝4”的后面不写“倍”呢？
我们首先应该肯定学生的质疑（学生有较强的解题规范意识）。但同时又该说明：在解答应用题时，得数后面一般要写上的是数的单位名称。例如，12只的“只”，8克的“克”。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等。而“倍”不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。例如，上面的计算结果“4”，表示12里面有4个3。

“倍”和“倍数”的区别
在第一学段，我们学习了“倍的初步认识”，认识了概念“倍”。而在第二学段，我们又学习“倍数”这个概念。那么，“倍”和“倍数”两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别？
“倍”是数量关系，建立在乘除法概念的基础上。例如，男生有10人，女生有30人，因为“10×3=30”“30÷10=3”，我们就说，女生人数（30）是男生人数（10）的3倍，也可以说，男生人数（10）的3倍等于女生人数（30）。“倍”其实表示的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数等）。
“倍数”是指数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。例如，30能被6整除，30就是6的倍数。可见，“倍数”是不能独立存在的，而且对数的形式有特别的要求（必须为整数）。

怎样使用“时”和“小时”
首先应该明确的是，〔小〕时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的《关于我国统一法定计量单位的命令》中，把秒作为时间的基本单位，把非国际单位制的时间单位天（日）、〔小〕时、分作为辅助单位。（注：〔 〕里的字，在不致混淆的情况下可以省略）。这样，在我国范围内使用的法定时间单位就有：天（日）、〔小〕时、分、秒。
由此，“时”既可以表示时间，又可以表示时刻。由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念容易产生混淆，在实际应用时间单位“时”时，现行教材作了如下处理。
当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位“时”。例如，超市营业时间：21-9=12（时）。（此处可省略“小”字）

在用语言表述时间的长短时，为避免“时间”和“时刻”这两个概念产生混淆，则在“时”的前面加上“小”字。例如，超市营业时间12小时。
在用语言表示时刻时，一律不得出现“小时”字样。例如，公园每天早上7时30分开园（而非7小时30分）。“路程”就是“距离”吗
这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。
“路程”是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度，而“距离”指连接两个地点而成的直线段的长度。“路程”所经过的路线可以是曲线，也可以是直线，还可能是折线。
一般情况下，两个地点之间的“路程”大于它们之间的“距离”，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相等。
 

最大的分数单位是1/2还是1/1
先看分数单位的含义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数。显然，在分数意义中，关键是“分”，没有“分”就没有“份”。
把单位“1”平均分成的最少份数是2份（如果是1份，也就无所谓“分”），由此得到的分数单位是1/2，所以1/2是最大的分数单位。
尽管就广义的分数来说，1/1也可视作分数，但它不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数（在平均分的基础上产生），故此，最大的分数单位应以1/2为宜。

像0/3、0.2/3、3/0.2这样的数是不是分数
分数的定义明确告诉我们：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数,叫分数。其中，分成的份数叫做分数的分母，要表示的份数叫做分子。
由此可知，分数的分子和分母都应该是非零自然数。从这个意义来说，以上这几个数徒具分数的形式，而不具分数的实质，因此都不应该视为分数。
进而，在考查学生对“分数”含义的理解时，应着眼于通常意义上的分数，将上述这些形式纳入思考的范围，其本身对训练学生的思维并无多大实际意义。

计算出勤率可不可以不乘100%
先来看看新人教版、北师大版和苏教版三个不同版本的教材对类似问题的理解。
同一课程标准下，不同的教材给出了不同的理解，这给执教者带来困惑：到底可不可以不乘100%？笔者以为，求“××率”其结果必定为百分率。以出勤率为例，就是求实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。
如果公式只写成：出勤率=实际出勤人数／应出勤人数，我们说这只是分数形式（即求实际出勤人数占应出勤人数的“几分之几”），并不是百分数。
因此，在公式后面乘“100％”，既可以使计算数值大小不变，又能保证结果形式满足百分数的要求。因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率……的公式中，都应乘“100％”。
 

小于90度的角都是锐角吗
根据教材定义：小于90度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的，但由此又产生了一个新的问题：０度的角是什么角，也是锐角吗？
事实是，锐角定义有一个隐含的前提，就是小学数学中所讨论的角都是正角。习惯上，我们把射线按0刻度线逆时针方向旋转而得到的角叫做正角，射线按0刻度线顺时针方向旋转而得到的角叫做负角，当一条射线没有做任何旋转时，就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角，就应分为正角、负角、和零角。
由此，严格意义上的锐角定义应是：大于０度且小于90度的角叫做锐角。
 

足球比赛记分牌上的３︰２是数学中的“比”吗
我们至少可以从两个方面来理解它们的差别。
第一，球类比赛中的“3︰2”表示比赛双方的得分情况，是“差”比，即表示相差关系，一方得3分，另一方得2分，双方相差1分；数学中的“3︰2”表示的是“3÷2”，是“倍”比，商为１.5。鉴于此，球类比赛中的“比”（其实是比分），其后面的那个数可以为０，而数学中的“比”，其后面的那个数（相当于除数）不可以为０。
第二，数学中的“比”是可以化简的，如“4︰2＝2︰1”。同样的“4︰2”放在球类比赛中却不可以化简，如果化简，就不能反映双方在比赛中的实际得分了。