2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义02《函数与方程(零点问题)》（教师版）

这是一份2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义02《函数与方程(零点问题)》（教师版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
已知实数a，b满足等式(eq \f(1,2))a=(eq \f(1,3))b，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b.
其中不可能成立的关系式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案解析】答案为：B；
解析：作出函数y1=(eq \f(1,2))x与y2=(eq \f(1,3))x的图象如图所示.
由(eq \f(1,2))a=(eq \f(1,3))b得，a＜b＜0或0＜b＜a或a=b=0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立.故选B.
函数y=2x－2－x是( )
A.奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B.奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
C.偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D.偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
【答案解析】答案为：A；
解析：f(x)=2x－2－x，则f(－x)=2－x－2x=－f(x)，f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，排除C，D.又函数y=－2－x，y=2x均是在R上的增函数，故y=2x－2－x在R上为增函数.
已知a=20.2，b=0.40.2，c=0.40.6，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞c＞a
【答案解析】答案为：A；
解析：由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.
因为a=20.2＞1，b=0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.
若xlg52≥－1，则函数f(x)=4x－2x＋1－3的最小值为( )
A.－4 B.－3 C.－1 D.0
【答案解析】答案为：A；
解析：∵xlg52≥－1，∴2x≥eq \f(1,5)，则f(x)=4x－2x＋1－3=(2x)2－2×2x－3=(2x－1)2－4.
当2x=1时，f(x)取得最小值，为－4.故选A.
已知集合A={x|(2－x)·(2＋x)>0}，则函数f(x)=4x－2x＋1－3(x∈A)的最小值为( )
A.4 B.2 C.－2 D.－4
【答案解析】答案为：D
解析：由题知集合A={x|－2所以f(x)=g(t)=t2－2t－3=(t－1)2－4，且函数g(t)的对称轴为直线t=1，
所以最小值为g(1)=－4.故选D.
已知函数f(x)=lgeq \f(1－x,1＋x)，若f(a)=eq \f(1,2)，则f(－a)=( )
A.2 B.－2 C.eq \f(1,2) D.－eq \f(1,2)
【答案解析】答案为：D；
解析：∵f(x)=lgeq \f(1－x,1＋x)的定义域为－1＜x＜1，
∴f(－x)=lgeq \f(1＋x,1－x)=－lgeq \f(1－x,1＋x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(－a)=－f(a)=－eq \f(1,2).
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(lg2a)＋f(lg0.5a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A.[1，2] B.(0,eq \f(1,2)] C.[eq \f(1,2),2] D.(0，2]
【答案解析】答案为：C；
解析：因为lg0.5a=－lg2a，且f(x)是偶函数，所以f(lg2a)＋f(lg0.5a)=2f(lg2a)=2f(|lg2a|)≤2f(1)，即f(|lg2a|)≤f(1)，
又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|lg2a|≤1，即－1≤lg2a≤1，解得eq \f(1,2)≤a≤2.
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)为减函数，
则不等式f( SKIPIF 1 < 0 >f(lg38)的解集为( )
A.{x| SKIPIF 1 < 0 }
B.{x| SKIPIF 1 < 0 }
C.{x| SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 }
D.{x| SKIPIF 1 < 0 }
【答案解析】答案为：C
解析：由函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)为减函数，
可知当x>0时，f(x)为增函数，
所以不等式变为 SKIPIF 1 < 0 >lg38或 SKIPIF 1 < 0 )<－lg38，
即0<2x－58，解得eq \f(5,2)eq \f(13,2).故选C.
函数f(x)=lnx－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间为( )
A.(1，2) B.(2，3) C.(eq \f(1,e)，1)和(3，4) D.(e，＋∞)
【答案解析】答案为：B
函数f(x)=2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
【答案解析】答案为：C；
解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
则由题意得f(1)·f(2)=(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.
当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m取值范围是( )
A.(－2，1) B.(－4，3) C.(－3，4) D.(－1，2)
【答案解析】答案为：D；
解析：因为(m2－m)·4x－2x＜0在x∈(－∞，－1]时恒成立，
所以m2－m＜(eq \f(1,2))x在x∈(－∞，－1]时恒成立，
由于f(x)=(eq \f(1,2))x在x∈(－∞，－1]时单调递减，且x≤－1，所以f(x)≥2，
所以m2－m＜2，解得－1＜m＜2.
已知f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2ax＋3a＋1，x<1，,ln x，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－1] B.(－1,0) C.[－1,0) D.[－1,0]
【答案解析】答案为：C
解析：∵y=ln x，x≥1，∴y≥0，∴y=－2ax＋3a＋1在x∈(－∞，1)时，
满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a>0，,－2a＋3a＋1≥0，))解得－1≤a<0.故选C.
二、填空题
已知函数f(x)=eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)，若f(a)=－eq \f(1,2)，则f(－a)=________.
【答案解析】答案为：eq \f(1,2)
解析：∵f(x)=eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)， f(a)=－eq \f(1,2)，∴eq \f(ea－e－a,ea＋e－a)=－eq \f(1,2).
∴f(－a)=eq \f(e－a－ea,e－a＋ea)=－eq \f(ea－e－a,ea＋e－a)=－(－eq \f(1,2))=eq \f(1,2).
已知a＞b＞1.若lgab＋lgba=eq \f(5,2)，ab=ba，则a=________，b=________.
【答案解析】答案为：4；2.
解析：令lgab=t，∵a＞b＞1，∴0＜t＜1，由lgab＋lgba=eq \f(5,2)得，t＋eq \f(1,t)=eq \f(5,2)，
解得t=eq \f(1,2)或t=2(舍去)，即lgab=eq \f(1,2)，∴b=eq \r(a)，
又ab=ba，∴aeq \r(a)=(eq \r(a))a，即aeq \r(a)=aeq \s\up6(\f(a,2))，亦即eq \r(a)=eq \f(a,2)，解得a=4，∴b=2.
已知f(x)=2＋lg3x，x∈[1,9]，则函数y=[f(x)]2＋f(x2)的最大值是 .
【答案解析】答案为：13.
解析：由f(x)=2＋lg3x，x∈[1,9]，得f(x2)=2＋lg3x2，x2∈[1,9]，即x∈[1,3]，
得函数y=[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3].y=(2＋lg3x)2＋2＋lg3x2，
即y=(lg3x)2＋6lg3x＋6=(lg3x＋3)2－3，
令lg3x=t,0≤t≤1，则y=(t＋3)2－3，当t=lg3x=1，即x=3时，ymax=13.
设函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|lg x|，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若函数y=2[f(x)]2＋2bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是________.
【答案解析】答案为：（－eq \f(3,2)，－eq \r(2)）
解析：作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象可知，
若函数y=2[f(x)]2＋2bf(x)＋1有8个零点，则关于f(x)的一元二次方程2[f(x)]2＋2bf(x)＋1=0在(0，1)上有2个不相等的实根.设t=f(x)，则方程转化为2t2＋2bt＋1=0，
设两个根分别为t1，t2，则由根与系数的关系知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝4b2－8>0，,0即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b<－\r(2)或b>\r(2)，,0\r(2)，,0<－b<2，,0<\f(1,2)－（－b）＋1<1，))得－eq \f(3,2)三、解答题
已知定义在R上的函数 f(x)=2x－eq \f(1,2|x|).
(1)若f(x)=eq \f(3,2)，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围.
【答案解析】解：(1)当x＜0时， f(x)=0，无解；
当x≥0时， f(x)=2x－eq \f(1,2x)，
由2x－eq \f(1,2x)=eq \f(3,2)，得2·22x－3·2x－2=0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x=2或2x=－eq \f(1,2)，
∵2x＞0，∴x=1.
(2)当t∈[1,2]时，2teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22t－\f(1,22t)))＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(1,2t)))≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，
∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞).
已知函数f(x)=lg4(ax2＋2x＋3).
(1)若f(1)=1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
【答案解析】解：(1)因为f(1)=1，
所以lg4(a＋5)=1，因此a＋5=4，a=－1，
这时f(x)=lg4(－x2＋2x＋3).
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
函数f(x)的定义域为(－1，3).
令g(x)=－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减.
又y=lg4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3).
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，
则h(x)=ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞0，,\f(3a－1,a)＝1))解得a=eq \f(1,2).
故存在实数a=eq \f(1,2)使f(x)的最小值为0.
已知函数f(x)=lga(x＋1)－lga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集.
【答案解析】解：(1)要使函数f(x)有意义，
则需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,1－x>0，))解得－1故所求函数f(x)的定义域为(－1,1).
(2)f(x)为奇函数.
证明：由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，
且f(－x)=lga(－x＋1)－lga(1＋x)=－[lga(x＋1)－lga(1－x)]=－f(x)，
故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时， f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f(x)>0⇔eq \f(x＋1,1－x)>1，解得0所以使f(x)>0的x的解集是(0,1).
已知函数f(x)=1－eq \f(4,2ax＋a)(a>0，a≠1)且f(0)=0.
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)=(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围.
【答案解析】解：(1)对于函数f(x)=1－eq \f(4,2ax＋a)(a>0，a≠1)，
由f(0)=1－eq \f(4,2＋a)=0，得a=2.
(2)由(1)知f(x)=1－eq \f(4,2·2x＋2)=1－eq \f(2,2x＋1).
因为函数g(x)=(2x＋1)·f(x)＋k=2x＋1－2＋k=2x－1＋k有零点，
所以函数y=2x的图象和直线y=1－k有交点，
∴1－k>0，即k<1.
(3)∵当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，
即1－eq \f(2,2x＋1)>m·2x－2恒成立，亦即m令t=2x，则t∈(1,2)，且m由于y=eq \f(1,t)＋eq \f(2,t＋1)在t∈(1,2)上单调递减，
∴eq \f(1,t)＋eq \f(2,t＋1)>eq \f(1,2)＋eq \f(2,2＋1)=eq \f(7,6)，∴m≤eq \f(7,6).
已知函数f(x)=－x2－2x，g(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a=0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围.
【答案解析】解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(－3)=－3＋1=－2.
(2)令f(x)=t，则原方程化为g(t)=a，
易知方程f(x)=t在(－∞，1)上有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t＜1)与y=a的图象有2个不同的交点，
作出函数y=g(t)(t＜1)的图象如图，
由图象可知，当1≤a＜eq \f(5,4)时，函数y=g(t)(t＜1)与y=a有2个不同的交点，
即所求a的取值范围是[1,eq \f(5,4)).
设函数f(x)=|1- SKIPIF 1 < 0 |(x>0).
(1)做出函数f(x)的图象；
(2)当0(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根，求m的取值范围.
【答案解析】解：(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)∵f(x)=|1- SKIPIF 1 < 0 |=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1，x∈0，1]，,1－\f(1,x)，x∈1，＋∞，))
故f(x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.
由0(3)由函数f(x)的图象可知，
当0即方程f(x)=m有两个不相等的正根.
已知函数f(x)=3－2lg2x，g(x)=lg2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)=[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq \r(x))＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
【答案解析】解：(1)h(x)=(4－2lg2x)·lg2x=－2(lg2x－1)2＋2，
因为x∈[1，4]，所以lg2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)由f(x2)·f(eq \r(x))＞k·g(x)，
得(3－4lg2x)(3－lg2x)＞k·lg2x，
令t=lg2x，因为x∈[1，4]，所以t=lg2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t=0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k＜eq \f(（3－4t）（3－t）,t)恒成立，
即k＜4t＋eq \f(9,t)－15，
因为4t＋eq \f(9,t)≥12，当且仅当4t=eq \f(9,t)，即t=eq \f(3,2)时取等号，
所以4t＋eq \f(9,t)－15的最小值为－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).