《函数的基本性质要点总结》文字素材6（人教A版必修1）学案

函数的基本性质要点总结

研究一种函数就要研究它的性质，单调性与奇偶性是函数最重要的基本性质。

一、单调性

要点1:增函数、减函数定义及图象特征

一般地，对于给定区间上的函数f（x）， 如果对于属于定义域Ｉ内某个区间上的任意两个自变量的值，，当＜时，都有f（）＜f（），那么就说f（x）在这个区间上是增函数。减函数的定义类似。

反映在图象上，若 是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的。

关于函数单调性的理解：

（1）       函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言

有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如常数函数y=c，又如函数 。

（2）       函数 在给定区间上的单调性，反映了函数 在区间上函数

值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质。

因此，若要证明 在[a，b]上是递增的，就必须证明对于区间[a，b]上任意的两点x1、x2，当x1＜x2时都有不等式f (x1)＜f (x2)成立。

若要证明 在[a，b]上不是单调递增的，只须举出反例就足够了。即只要找到两个特殊的x1、x2，若a≤x1＜x2≤b，有f (x1)≥f (x2)即可。

（3）函数单调性定义中的x1、x2，有三个特征：一是任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字决不能丢掉。证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。

要点2：单调性与单调区间

如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做y＝f（x）的单调区间。

关于单调区间的书写：函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

若函数 在其定义域内的两个区间A、B上都是增（减）函数，一般不能简单认为 在A∪B上是增（减）函数。如 在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上也是减函数，但不能说它在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数，事实上，取x1=－1<1=x2，有f(－1)=－1<1=f (1)，不符合减函数定义。

要点3：用定义证明函数单调性的步骤

第一步：取值  即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2；

第二步：作差变形  即作差f (x1)－f (x2)（或f (x2)－f (x1)），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；

第三步：定号   确定差f (x1)－f (x2)（或f (x2)－f (x1)）的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；

第四步：判断  根据定义作出结论。

即“取值——作差——变形——定号——判断”这几个步骤。

要点4：函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法主要有：

（1）       定义法

（2）直接法　运用已知的结论，直接得到函数的单调性。如一次函数，二次函数，反比例函数的单调性均可直接说出。了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：

①函数 与函数 的单调性相反；

②当 恒为正或恒为负时，函数 与 的单调性相反；

③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等。

（3）图像法。

二、函数的奇偶性

要点1：奇函数、偶函数定义和图象特征

（1）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

（2）       如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数

f（x）就叫做偶函数。

偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

要点2：函数奇偶性的判定方法

判定函数的奇偶性，包括判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，或者既是奇函数又是偶函数。

（1）       利用定义判断函数奇偶性

①考查定义域是否关于原点对称

奇函数或偶函数的定义域必须是关于坐标原点对称的。如果函数的定义域关于原点不对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数；

②判断 之一是否成立。

（2）       根据函数图象的对称特征判断是奇函数还是偶函数。