吉林省东北师范大学附属实验学校高中部数学：新人教A版必修一 1.3.1《函数的单调性》 教案

§1.3.1函数的单调性

教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．

教学重点：函数的单调性及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

教学过程：

一、       引入课题

1．     画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1．f(x) = x

  从左至右图象上升还是下降 ______?

  在区间 ____________ 上，随着x的增

大，f(x)的值随着 ________ ．

2．f(x) = -2x+1

  从左至右图象上升还是下降 ______?

  在区间 ____________ 上，随着x的增

大， f(x)的值随着 ________ ．

3．f(x) = x2

 在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．

  在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ ．

二、       新课教学

（一）函数单调性定义

1．增函数

 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．

注意：

⑴函数的单调区间是其定义域的子集；

⑵函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

⑶必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

（二）典型例题

例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.

解：函数的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.

巩固练习：⑴ 课本P32练习第3题

⑵画出函数的图像，并指出其单调区间。

总结一、二次函数，反比例函数的单调区间：

例2．（教材P29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．

解：（略）

总结：判断函数单调性的方法步骤

  利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

   任取x1，x2∈D，且x1<x2；

   作差f(x1)－f(x2)；

 变形（通常是因式分解和配方）；

 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

巩固练习：

⑴ 课本P32练习第4题

⑵证明函数在（1，+∞）上为增函数．

⑶画出反比例函数的图象．

  这个函数的定义域是什么？

  它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

 归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

三、       作业布置

1. 课本P39 习题1．3（A组） 第1、2题．
2. 附加题：

⑴函数y＝＝x2－6x＋10在区间（2，4）上是（　　）

　　 A．递减函数      B．递增函数

　　 C．先递减再递增     D．选递增再递减．

⑵函数f（x）＝－＋2（a－1）x＋2在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（　　）

　　A．a≥5   B．a≥3   C．a≤3   D．a≤－5

⑶讨论函数在(-2,2)内的单调性.

解：∵，对称轴

∴若,则在(-2,2)内是增函数；

若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数

若,则在(-2,2)内是减函数.