数学 上海市宝山区2022届高三上学期一模数学试题

2021学年度第一学期期末

高三年级数学学科教学质量监测试卷

考生注意：

1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；

2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；

3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；

4.可使用符合规定的计算器答题.

一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.

1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________.

2.已知集合，，则___________.

3.在的展开式中，的系数为___________.

4.函数的定义域是___________.

5.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________.

6.已知数列的前项和为，且满足，，则___________.

7.若，满足则的最大值为___________.

8.计算___________.

9.在三角形中，是中点，，，则___________.

10.已知定义在上的函数满足，当时，，则方程有___________个根.

11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则的最大值为___________.

12.在平面直角坐标系中，已知圆，点是直线上的一个动点，直线，分别切圆于，两点，则线段长的取值范围是___________.

二､选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13.“”是“直线和平行”的（    ）

A.充分非必要条件    B.必要非充分条件

C.充要条件    D.非充分又非必要条件

14.已知函数，则（    ）

A.是奇函数，且在上是增函数

B.是偶函数，且在上是增函数

C.是奇函数，且在上是减函数

D.是偶函数，且在上是减函数

15.已知双曲线，作轴的垂线交双曲线于､两点，作轴的垂线交双曲线于､两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是（    ）

A.椭圆    B.双曲线    C.圆    D.抛物线

16.设，，定义运算“△”和“”如下：，.若正数，，，满足，，则（    ）

A.△，△    B.，

C.△，    D.，△

三､解答题（本大题共有5题，满分76分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.

17，（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱与的中点.

（1）求以，，，为顶点的四面体的体积；

（2）求异面直线和所成的角的大小.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设函数，.

（1）若，，函数是偶函数，求方程的解集；

（2）求函数的值域.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度（单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，.（本题的距离精确到

（1）该小组测得､的一组值为，，请据此计算的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离（单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

如图，已知､是椭圆的左､右焦点，､是其顶点，直线与相交于，两点.

（1）求△的面积；

（2）若，点，重合，求点的坐标；

（3）设直线，的斜率分别为､，记以，为直径的圆的面积分别为､，的面积为，若､､恰好构成等比数列，求的最大值.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数，无穷数列满足，.

（1）若，写出数列的通项公式（不必证明）；

（2）若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由；

（3）证明：，，，，成等差数列的充要条件是.

参考答案

一､填空题

1.    2.    3.    4.    5.    6.

7.1    8.2    9.    10.10    11.    12.

二､选择题

13.B    14.A    15.B    16.D

三､解答题

17.（1）；（2）

18.（1）；（2）

19.（1）；（2）

20.（1）（2）；（3），当时，最大值为

21.（1），（2）为等比数列，，不为等比数列；（3）略