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第02讲 全等三角形专题-2021-2022学年人教版八年级数学上学期《考点•题型•难点》期末高效复习（含解析）
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这是一份第02讲 全等三角形专题-2021-2022学年人教版八年级数学上学期《考点•题型•难点》期末高效复习（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第02讲：全等三角形专题
考点梳理
考点一：全等三角形的定义和性质
（1） 形状、大小相同的图形能够完全重合；
（2） 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；
（3） 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
（4） 平移、翻折、旋转前后的图形全等；
（5） 对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；
（6） 对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；
（7） 对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；
（8） 全等表示方法：用“”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）
（9） 全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；
考点二.全等三角形的判定定理：
⑴边边边（）：三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边（）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角（）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边（）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
考点三：角平分线：
⑴画法：
⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）
题型强化训练
一、单选题
1．（2021·湖北恩施·八年级期末）下列说法正确的是（）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
2．（2021·江苏广陵·八年级期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
3．（2021·辽宁绥中·八年级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）
A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
4．（2021·天津河西·八年级期末）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.
A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
5．（2021·河北高碑店·八年级期末）如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（）
A．6 B．5 C．4 D．
6．（2021·湖北郧西·八年级期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．（2021·河南沁阳·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．（2021·黑龙江密山·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021·河北·石家庄市第二十一中学八年级期末）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
10．（2021·山东南区·八年级期末）如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C．其中正确个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2021·河北·献县教育体育局教研室八年级期末）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（）
A．①③ B．②③
C．①② D．①②③
12．（2021·重庆·八年级期末）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
13．（2021·辽宁绥中·八年级期末）如图，，要使，还需添加一个条件是：______．（填上你认为适当的一个条件即可）
14．（2021·贵州石阡·八年级期末）在Rt，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=__cm．
15．（2021·甘肃西峰·八年级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝________cm.
16．（2021·甘肃省会宁县教学研究室八年级期末）如图，在中，，，AD是的一条角平分线，若，则的面积为__________．
17．（2021·安徽无为·八年级期末）如图所示，是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中包括实线、虚线在内共有全等三角形______对
18．（2021·广东增城·八年级期末）已知:如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号)
三、解答题
19．（2021·宁夏平罗·八年级期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
20．（2021·江苏丹阳·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
21．（2021·湖北咸安·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
22．（2021·湖南会同·八年级期末）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
23．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
24．（2021·湖南汉寿·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
25．（2021·内蒙古扎兰屯·八年级期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
26．（2021·四川安居·八年级期末）如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为．
（1）_____________．（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，？
（3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
27．（2021·湖北曾都·八年级期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是；
（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．
28．（2021·河北宽城·八年级期末）如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
参考答案
1．C
【分析】
根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．
【详解】
解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；
B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；
C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；
D、所有的等边三角形全等，说法错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．
2．B
【详解】
根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
3．C
【详解】
试题分析：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
考点：全等三角形的判定．
4．D
【分析】
两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解答：
【详解】
分析：
∵AD=AD，
A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；
B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；
C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；
D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是关键.
5．D
【分析】
根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
【详解】
∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3，
故选D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
6．C
【详解】
过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
7．D
【详解】
试题分析：∵ D为BC中点，∴CD=BD，又∵∠BDO=∠CDO=90°，∴在△ABD和△ACD中，
，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，
，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；所以共有4对全等三角形，故选D．
考点：全等三角形的判定.
8．D
【详解】
∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D．
点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
9．B
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】
第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
10．B
【详解】
解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正确；
②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正确；
③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
11．C
【分析】
根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立．
【详解】
解：如图示，连接，
，
是的平分线，
，①正确．
，②正确．
只是过点，并没有固定，明显③不成立．
故选：．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，熟悉相关性质是解题的关键．
12．B
【详解】
如图，过点P作PC垂直AO于点C，PD垂直BO于点D,根据角平分线的性质可得PC=PD，因∠AOB与∠MPN互补，可得∠MPN=∠CPD,即可得∠MPC=∠DPN，即可判定△CMP≌△NDP，所以PM=PN，（1）正确；由△CMP≌△NDP可得CM=CN，所以OM+ON=2OC，（2）正确；四边形PMON的面积等于四边形PCOD的面积，（3）正确；连结CD，因PC=PD，PM=PN，∠MPN=∠CPD，PM>PC，可得CD≠MN，所以（4）错误，故选B.
13．或或
【分析】
由∠1=∠2可得∠AEB=∠AEC，AD为公共边，根据全等三角形的判定添加条件即可．
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
∵AE为公共边，
∴根据“SAS”得到三角形全等，可添加BE=CE；根据“AAS”可添加∠B=∠C；根据“ASA”可添加∠BAE=∠CAE；
故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．3．
【详解】
∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°．
∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°．∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC（ASA）．∴AC=EF．
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm．
15．1.5
【分析】
证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可证得CE=AD，从而求解．
【详解】
∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠E=∠ADC=90°
∴∠DAC+∠DCA=90°
∵∠ACB=90°
∴∠BCE+∠DCA=90°
∴∠BCE =∠DAC
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE
∴BE=CD=0.5（cm），EC=AD=2（cm）
DE=CE-CD=1.5（cm），
故答案为1.5
16．15
【分析】
过点作于，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：如图，过点作于．
∵平分，，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，恰当作辅助线得出三角形的高长．
17．4
【分析】
共有四对，分别是△ABD≌△CDB，△ABD≌△C'DB，△DCB≌△C'DB，△AOB≌△C'OD.
【详解】
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB (HL) ，
∵△BDC是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，
∴BC'=AD，BD=BD，∠C'=∠A，
∴△ABD≌△C'DB (HL) ，
同理△DCB≌△C'DB，
∵∠A=∠C'，∠AOB=∠C'OD，AB=C'D，
∴△AOB≌△C'OD (AAS) ，
所以共有四对全等三角形．
故答案为4.
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．①②④
【分析】
易证△ABD≌△EBC,可得可得①②正确,再根据角平分线的性质可求得,即,根据可求得④正确.
【详解】
①BD为△ABC的角平分线,
在△ABD和△EBC中,
△ABD≌△EBC,
①正确;
②BD为△ABC的角平分线,,BD=BC,BE=BA,
△ABD≌△EBC
②正确;
③
为等腰三角形,
,
△ABD≌△EBC,
BD为△ABC的角平分线,,而EC不垂直与BC,
③错误; ④正确.
故答案为:①②④.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键.
19．详见解析
【分析】
（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【详解】
（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO．
【详解】
证明：（1）∵BF=DE，
∴，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
,
∴（HL）；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
21．（1）证明见解析；（2）112.5°．
【分析】
根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上可证得结论；
根据得到根据等腰三角形的性质得到由平角的定义得到
【详解】
证明：
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
22．(1)见解析；（2）
【分析】
（1）由角平分线定义得出，由证明即可；
（2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】
（1）证明：平分，
，
在和中，，
；
（2），，
，
平分，
，
在中，．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE
【分析】
(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.
【详解】
(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；
(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)、AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE
考点：三角形全等的证明
24．（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC.上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．
【分析】
（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；
（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；
②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．
【详解】
（1）；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②当点在射线上时，．
当点在射线的反向延长线上时，．
【点睛】
该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．
25．（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由见解析；（2）2或
【分析】
（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC＋∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；
（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．
【详解】
解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C＋∠APC＝90°，
∴∠APC＋∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
26．（1）；（2）；（3）存在，或，理由见解析．
【分析】
（1）由路程=速度时间，解得，再由即可解题；
（2）由全等三角形对应边相等的性质得，即，据此解题；
（3）分两种情况讨论，当时或当时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值即可解得的值．
【详解】
解：（1）由题意得，，
，
故答案为：；
（2）若
则
即
当时，；
（3）存在，理由如下：
当时，
；
当时，
综上所述，当或时，与全等．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
27．（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】
（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；
（2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到；
（3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到．
【详解】
（1）延长到点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，即，
∴；
（2）证明:延长到点使,连接，
由（1）知，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
（3），
延长到，使，连接，
，
，
，
，
，
点在一条直线上，
，
∴，
∴在和中，
，，，
∴≌，
，
∵，
．
【点睛】
本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．
28．（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）①由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得Rt△ADC≌Rt△CEB，
②由Rt△ADC≌Rt△CEB，得出AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD．证明的方法与（2）相同．
【详解】
解：（1）①证明：于点，于点，，
，，
．又，；
②证明：由①知，，，．
，；
（2）证明：于点，于点，
，，．，
又，，，，
；
（3）（或，）．
由（2）的方法证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CDCE=BEAD．
第02讲：全等三角形专题
考点梳理
考点一：全等三角形的定义和性质
（1） 形状、大小相同的图形能够完全重合；
（2） 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；
（3） 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
（4） 平移、翻折、旋转前后的图形全等；
（5） 对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；
（6） 对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；
（7） 对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；
（8） 全等表示方法：用“”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）
（9） 全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；
考点二.全等三角形的判定定理：
⑴边边边（）：三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边（）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角（）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边（）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
考点三：角平分线：
⑴画法：
⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）
题型强化训练
一、单选题
1．（2021·湖北恩施·八年级期末）下列说法正确的是（）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
2．（2021·江苏广陵·八年级期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
3．（2021·辽宁绥中·八年级期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）
A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
4．（2021·天津河西·八年级期末）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）.
A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
5．（2021·河北高碑店·八年级期末）如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（）
A．6 B．5 C．4 D．
6．（2021·湖北郧西·八年级期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．（2021·河南沁阳·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．（2021·黑龙江密山·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021·河北·石家庄市第二十一中学八年级期末）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
10．（2021·山东南区·八年级期末）如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C．其中正确个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2021·河北·献县教育体育局教研室八年级期末）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（）
A．①③ B．②③
C．①② D．①②③
12．（2021·重庆·八年级期末）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
13．（2021·辽宁绥中·八年级期末）如图，，要使，还需添加一个条件是：______．（填上你认为适当的一个条件即可）
14．（2021·贵州石阡·八年级期末）在Rt，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=__cm．
15．（2021·甘肃西峰·八年级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝________cm.
16．（2021·甘肃省会宁县教学研究室八年级期末）如图，在中，，，AD是的一条角平分线，若，则的面积为__________．
17．（2021·安徽无为·八年级期末）如图所示，是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中包括实线、虚线在内共有全等三角形______对
18．（2021·广东增城·八年级期末）已知:如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号)
三、解答题
19．（2021·宁夏平罗·八年级期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
20．（2021·江苏丹阳·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
21．（2021·湖北咸安·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．
22．（2021·湖南会同·八年级期末）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
23．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
24．（2021·湖南汉寿·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
25．（2021·内蒙古扎兰屯·八年级期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
26．（2021·四川安居·八年级期末）如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为．
（1）_____________．（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，？
（3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
27．（2021·湖北曾都·八年级期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是；
（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．
28．（2021·河北宽城·八年级期末）如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
参考答案
1．C
【分析】
根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．
【详解】
解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；
B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；
C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；
D、所有的等边三角形全等，说法错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念．
2．B
【详解】
根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
3．C
【详解】
试题分析：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
考点：全等三角形的判定．
4．D
【分析】
两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．
解答：
【详解】
分析：
∵AD=AD，
A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；
B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；
C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；
D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是关键.
5．D
【分析】
根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
【详解】
∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3，
故选D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
6．C
【详解】
过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
7．D
【详解】
试题分析：∵ D为BC中点，∴CD=BD，又∵∠BDO=∠CDO=90°，∴在△ABD和△ACD中，
，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，
，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；所以共有4对全等三角形，故选D．
考点：全等三角形的判定.
8．D
【详解】
∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D．
点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
9．B
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】
第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
10．B
【详解】
解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正确；
②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正确；
③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③错误；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
11．C
【分析】
根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立．
【详解】
解：如图示，连接，
，
是的平分线，
，①正确．
，②正确．
只是过点，并没有固定，明显③不成立．
故选：．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，熟悉相关性质是解题的关键．
12．B
【详解】
如图，过点P作PC垂直AO于点C，PD垂直BO于点D,根据角平分线的性质可得PC=PD，因∠AOB与∠MPN互补，可得∠MPN=∠CPD,即可得∠MPC=∠DPN，即可判定△CMP≌△NDP，所以PM=PN，（1）正确；由△CMP≌△NDP可得CM=CN，所以OM+ON=2OC，（2）正确；四边形PMON的面积等于四边形PCOD的面积，（3）正确；连结CD，因PC=PD，PM=PN，∠MPN=∠CPD，PM>PC，可得CD≠MN，所以（4）错误，故选B.
13．或或
【分析】
由∠1=∠2可得∠AEB=∠AEC，AD为公共边，根据全等三角形的判定添加条件即可．
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
∵AE为公共边，
∴根据“SAS”得到三角形全等，可添加BE=CE；根据“AAS”可添加∠B=∠C；根据“ASA”可添加∠BAE=∠CAE；
故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．3．
【详解】
∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°．
∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°．∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC（ASA）．∴AC=EF．
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm．
15．1.5
【分析】
证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等即可证得CE=AD，从而求解．
【详解】
∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠E=∠ADC=90°
∴∠DAC+∠DCA=90°
∵∠ACB=90°
∴∠BCE+∠DCA=90°
∴∠BCE =∠DAC
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE
∴BE=CD=0.5（cm），EC=AD=2（cm）
DE=CE-CD=1.5（cm），
故答案为1.5
16．15
【分析】
过点作于，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：如图，过点作于．
∵平分，，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，恰当作辅助线得出三角形的高长．
17．4
【分析】
共有四对，分别是△ABD≌△CDB，△ABD≌△C'DB，△DCB≌△C'DB，△AOB≌△C'OD.
【详解】
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB (HL) ，
∵△BDC是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，
∴BC'=AD，BD=BD，∠C'=∠A，
∴△ABD≌△C'DB (HL) ，
同理△DCB≌△C'DB，
∵∠A=∠C'，∠AOB=∠C'OD，AB=C'D，
∴△AOB≌△C'OD (AAS) ，
所以共有四对全等三角形．
故答案为4.
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．①②④
【分析】
易证△ABD≌△EBC,可得可得①②正确,再根据角平分线的性质可求得,即,根据可求得④正确.
【详解】
①BD为△ABC的角平分线,
在△ABD和△EBC中,
△ABD≌△EBC,
①正确;
②BD为△ABC的角平分线,,BD=BC,BE=BA,
△ABD≌△EBC
②正确;
③
为等腰三角形,
,
△ABD≌△EBC,
BD为△ABC的角平分线,,而EC不垂直与BC,
③错误; ④正确.
故答案为:①②④.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键.
19．详见解析
【分析】
（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【详解】
（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO．
【详解】
证明：（1）∵BF=DE，
∴，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
,
∴（HL）；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
21．（1）证明见解析；（2）112.5°．
【分析】
根据同角的余角相等可得到结合条件，再加上可证得结论；
根据得到根据等腰三角形的性质得到由平角的定义得到
【详解】
证明：
在△ABC和△DEC中，，
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
22．(1)见解析；（2）
【分析】
（1）由角平分线定义得出，由证明即可；
（2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】
（1）证明：平分，
，
在和中，，
；
（2），，
，
平分，
，
在中，．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE
【分析】
(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.
【详解】
(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；
(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)、AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE
考点：三角形全等的证明
24．（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC.上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．
【分析】
（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；
（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；
②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．
【详解】
（1）；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②当点在射线上时，．
当点在射线的反向延长线上时，．
【点睛】
该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．
25．（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由见解析；（2）2或
【分析】
（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC＋∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；
（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．
【详解】
解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C＋∠APC＝90°，
∴∠APC＋∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
26．（1）；（2）；（3）存在，或，理由见解析．
【分析】
（1）由路程=速度时间，解得，再由即可解题；
（2）由全等三角形对应边相等的性质得，即，据此解题；
（3）分两种情况讨论，当时或当时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值即可解得的值．
【详解】
解：（1）由题意得，，
，
故答案为：；
（2）若
则
即
当时，；
（3）存在，理由如下：
当时，
；
当时，
综上所述，当或时，与全等．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
27．（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】
（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；
（2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到；
（3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到．
【详解】
（1）延长到点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，即，
∴；
（2）证明:延长到点使,连接，
由（1）知，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
（3），
延长到，使，连接，
，
，
，
，
，
点在一条直线上，
，
∴，
∴在和中，
，，，
∴≌，
，
∵，
．
【点睛】
本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．
28．（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）①由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得Rt△ADC≌Rt△CEB，
②由Rt△ADC≌Rt△CEB，得出AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD．证明的方法与（2）相同．
【详解】
解：（1）①证明：于点，于点，，
，，
．又，；
②证明：由①知，，，．
，；
（2）证明：于点，于点，
，，．，
又，，，，
；
（3）（或，）．
由（2）的方法证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CDCE=BEAD．
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