必修13.4.2 函数模型及其应用教学设计及反思

函数模型的应用实例

    一、 教学目标

1. 知识与技能  能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.

2. 过程与方法  进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.

二、 教学重点

重点  利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.

难点  将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.

三、 学法与教学用具

1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论.

2. 教学用具：多媒体

四、 教学设想

（一）创设情景，揭示课题.

 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.

（二）实例尝试，探求新知

例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.

1）写出速度关于时间的函数解析式；

2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；

3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.

本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.

教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.

注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.

例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据. 早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：

其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.

下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）

    1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？

探索以下问题：

1）本例中所涉及的数量有哪些？

2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？

3）根据表中数据如何确定函数模型？

4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？

如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？

本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.

完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.

在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.

引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.

课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.

探索以下问题：

1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？

2）如何对所确定的函数模型进行评价？

本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型.

引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.

本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.

三. 归纳小结，发展思维.

利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；

1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；

2）利用待定系数法，确定具体函数模型；

3）对所确定的函数模型进行适当的评价；

4）根据实际问题对模型进行适当的修正.

从以上各例体会到：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.

图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.