苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.2 函数模型及其应用教案

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　　1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

　　一般地，对于指数函数y=ax（a＞１）和幂函数y=xn（n＞０），通过探索可以发现，在区间（０，＋∞）上，无论n比a大多少，尽管可能在x的一定区间内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.

　　同样地，对于对数函数y=logax（a＞１）和幂函数y=xn（n＞０），在区间（０，＋∞）上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，尽管在x的一定区间内，xn会小于logax，但由于logax的增长慢于xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.

　　综上所述，在区间（０，＋∞）上，尽管函数y=ax（a＞１），y=logax（a＞１）和y=xn（n＞０）都是增函数，但它们的增长速度不同，随着x的增大，y=ax（a＞１）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn（n＞０）的增长速度，而y=logax（a＞１）的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.

　　2．解答函数应用题的基本步骤

　　求解函数应用题时一般按以下几步进行：

　　第一步：认真读题，缜密审题

　　审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型、问题的实质等，初步预测所属数学模型，同时在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件.

　　第二步：引进数学符号，建立数学模型

　　在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.

　　第三步：解模

　　运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.

　　第四步：还原、检验

　　把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.

　　上述四步可概括为以下流程：

　　实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）解模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）.

　　3．常见函数模型分类

　　根据函数自身的种类，常见函数模型主要有一次函数模型y=kx+b（k≠０）、二次函数模型y=ax2+bx+c（a≠０）、分段函数模型、指数型函数模型y=abx+c（a≠０，b＞0，且b≠１）、对数型函数模型y=mlogax+n（m≠０，a＞0，且a≠1），幂函数型模型y=axn+b（a≠０）以及y=ax+函数模型等.

不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，对指数函数、对数函数以及幂函数三种不同类型的增长函数的增长趋势要有充分的认识，深刻体会指数爆炸、对数增长、直线上升等不同类型增长的含义.

　　4．拟合函数模型

　　这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（例如是搜集或用实验方法测定的）.求解这种函数模型的一般步骤为：画散点图→选择函数模型→用待定系数法求解函数模型→检验，若符合实际，可用此函数模型解决问题，若不符合实际，则继续选择模型，重复操作过程.以上过程可以利用计算器或计算机进行数据拟合.（在Excel工作表中，提供了线性、对数、指数、乘幂、多项式、移动平移等多种数学模型，可择优选用）.

构建函数模型求解实际问题

　　函数的实际应用是中学数学的一个重要内容，与函数有关的应用题，经常涉及利润，路程，产值，环保，造价，增长率等实际问题．解答这类问题的关键是弄清概念，构建相关的数学模型，将实际问题转化成数学问题来处理．本文就构建函数模型求解实际问题例说如下：

１．构建一次函数模型解决实际问题

例１ 某厂在甲、乙两地的两个分厂生产某种机器12台和6台，现销售给Ａ地10台，Ｂ地８台，已知从甲地调运一台到Ａ地、Ｂ地的费用分别是400元和800元，从乙地调运一台至Ａ地、Ｂ地的费用分别是300元和500元．

（１）   设从乙地要调运台至Ａ地，求总费用关于的函数关系式；

（２）   求若使总费用不超过9000元，问共有几种调运方案？

（３）   求出总费用最低的调运方案及最低的费用．

　　解：（１）因从乙地调运台到Ａ地，那么需从甲地调运（10－）台至Ａ地；由题意，从乙地调往Ｂ地为（6－）台，则从甲地调往Ｂ地应为［12－（10－）］台，即（2＋）台．从而有

＝300＋500（6－）＋400（10－）＋800（2＋）

　＝200（＋43）　（0≤≤6，且）

（２）当0≤≤2时，≤9000，故共有3种调运方案，总费用不超过9000元．

（３）在（１）中，当＝0时，费用最低，调运方案是：乙地6台全部调往Ｂ地，甲地调2台至Ｂ地，10台运往Ａ地，使总费用最低为＝8600元．

２．构建二次函数模型解决实际问题

例２ 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现在它采用提高销售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每涨１元，其销售数就减少10个．问他将售出价定为多少，才能使赚得利润最大？

分析：利润＝销售总额－进货总额

解：设每件提价元（≥０），利润为元．每天销售额为（10＋）（100－10）元，进货总额为8（100－10）．显然，100－10＞０，＜10．

＝（10＋）（100－10）－8（100－10）（０≤＜10）

　＝（2＋）（100－10）＝－10＋360

当＝4时，＝360元．

故当售出价为每件14元时，每天所赚得的利润最大为360元．

说明：画出函数＝－10＋360　（0≤＜10）的图形，从图象可以看出，当提价超过4元时，利润下降，当利润下降时商人就要考虑经营的方法，不应只考虑提价，而要降价，薄利多销．

３．构建分段函数模型解决实际问题

例３．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资薪金所得税；超过1000元的部分需征税．设全月纳税所得额（所得额指工资，薪金中应纳税的部分）为，＝全月收入－1000元，税率见下表：

　　　级数　　　　　　全月纳税所得额　　　　　　　税率

　　　　１　　　　　　不超过500元部分　　　　　　　５℅

　　　　２　　　　　超过500元至2000元部分　　　　　10℅

　　　　３　　　　　超过2000元至5000元部分　　　　　15℅

　　　　９　　　　　　超过100000部分　　　　　　　　45℅

（１）若应纳税额为，试用分段函数表示１—３级纳税额的计算公式；

　　（２）某人2004年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？

分析：本题是分段累进计算问题．应注意分清段，计算清楚．

（１）   依税率表得：第一段：·５℅

第二段：（－500）×10℅＋500×5℅

第三段：（－2000）×15℅＋1500×10℅＋500×5℅

即＝

（２）这个人10月份个人所得税为：＝4200－1000＝3200，

＝（3200－2000）＋175＝355（元）

答：这个人10月份应缴纳个人所得税355元．

４．构建指数函数模型解决实际问题

例４　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为℅，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式；

（2）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到１年）.

分析：本题属于人口增长率问题，第（２）小题要取常用对数计算．

解：（１）１年后该城市人口总数为：

＝100＋100×℅＝100（１＋℅）

２年后该城市人口总数为：

＝100（１＋℅）＋100（１＋℅）×℅＝100

３年后该城市人口总数为：

＝100＋100×℅＝100

…   …

年后该城市人口总数为：＝100

（2）设年后该城市人口将达到120万人，即100＝120

∴　　,两边取常用对数得：＝（年）

答：大约15年以后该城市人口将达到120万人.