高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.3 幂函数教案

幂函数图象有规律

幂函数的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？

    1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。　　3．0＜n＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n＝O时，变形为y＝1（x≠0），平行于x轴的射线。　5．n＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。

2．第一象限内图象走向之规律（如图1）：　x≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O＜x＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y＝x连成一体。

3．各个象限内图象分布之规律：设，互质，。

　　1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。

　　2．n＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。

　　3．n＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。

4．n＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。

　　利用规律，解题有方。请看以下例题：

例1 分别画出（1）， （2）， （3） ，（4）的大致图象。

解析：（1）＝奇数/奇数＜0，故双曲线型在第一、三象限，关于原点对称，如图3中的①。

　（2）＝偶数/奇数＞1，故抛物线型，在第一、二象限，关于y轴对称，如图2中的④。

　　（3）＝奇数/偶数＞1，故抛物线型，在第一、三象限，关于原点对称，如图3中的④。

　（4）＝奇数/偶数，0＜n＜1，故抛物线型，仅在第一象限，如图2中在第一象限中的③。

例2  请把相应的幂函数图象代号填入表格。

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；

（6）；（7）；（8）；（9）。

　解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E，C，A，G，B，I，D，H，F。