2020-2021学年3.3 幂函数教案

幂函数

一、教学目标

1、了解简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力。

2、会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力。

3、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。

二、重难点

重点是奇函数和偶函数的概念及函数奇偶性的判定。

难点是幂函数的概念及判断函数的奇偶性。

（一）新课引入：在初中我们已学过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们将再学习一种新的函数——幂函数，引出课题。

（二）新课讲授：

1、先看下面几个具体问题：

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付y=x元，这里y是x的函数。

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数。

（3）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里a是S的函数。

（4）如果某人t秒内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度V= t -1km/S，这里V是t的函数。

请同学们思考：这些函数有什么共同的特征？

（主要观察函数中的常数和变量的位置，右边解析式的形式）

结果：他们有以下共同特点

（1）指数为常数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）幂的系数为1，由此可得：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。

注：幂函数中a的值可以为任意实数

例1：判断下列函数是否为幂函数

（1）y= x4；  （2）y=；  （3）y=－x2；

（4）y=；  （5）y=2x2；  （6）y=x3+2；

2、观察下图，思考并讨论以下问题：

（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？

（2）函数中自变量取相反的两个数时对应的两个函数值之间有何关系？

f(x)=x2                           f(x)=|x|

        f(－3)=9=f(3)                     f(－3)=3=f(3)

f(－2)=4=f(2)                     f(－2)=2=f(2)

f(－1)=1=f(1)                     f(－1)=1=－f(1)

结论：一般地，图象关于y轴对称的函数叫做偶函数，在偶函数中f(-x)=f(x)。

3、观察函数f(x)=x和f(x)=的图象（下图），你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？

f(x)=x                            f(x)=  

f(－3)=－3=－f(3)                  f(－3)=－  =－f(3)

f(－2)=－2=－f(2)                  f(－2)=－  =－f(2)

f(－1)=－1=－f(1)                  f(－1)=－1=－f(1)

结论：一般地，图象关于原点对称的函数称为奇函数，在奇函数中，有f(x)=－f(x)。

注意：

（1）若一个函数是奇函数或偶函数则称函数具有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。

（2）由函数奇偶性的定义可知：对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（3）f(x)定义域内任意的x

若f(－x)=－f(x)成立，则f(x)为奇函数

若f(－x)=f(x)成立，则f(x)为偶函数

（4）若f(x)为奇函数，f(0)要么为0，要么不存在，即y=f(x)，xA，若0A，则f(0)=0；若0A，则f(0)不存在。

（5）若f(x)为偶函数，则f(－x)=f(x)=f(|x|)。

（6）若f(x)为奇函数，则f(x)在[a，b]与[－b，－a]具有相同的单调性，若f(x)为偶函数，则f(x)在[a，b]与[－b，－a]具有相反的单调性。

例2：判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)=x+；  （2）f(x)=；  （3）f(x)=x3+1

解：（1）∵定义域为{x|x≠0}又f(－x)=－x+=－(x+)=－f(x)

即f(－x)=－f(x)    ∴f(x)是奇函数

（2）∵定义域为{x|x≠0}又f(－x)===f(x)

即f(－x)=f(x)      ∴f(x)是偶函数

（3）定义域为R，∵f(－x)=(－x)3+1=－x3+1≠x3+1

即f(－x)= f(x)   又－x3+1≠－(x3+1)  即f(－x)≠－f(x)

∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数

一般地，判断函数奇偶性的步骤如下：

    （1）先求定义域，看是否关于原点对称；

（2）再判断f(－x)=f(－x)或f(－x)=f(x)是否恒成立。

（三）课堂练习

判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)=x－；            （2）f(x)=－x2+1；

（3）f(x)=x+1；              （4）f(x)=x2    x[－1，3]；

（四）本课小结

1、幂函数的定义：一般地，函数y=xa叫幂函数，其中x是自变量，a是常数。

2、奇偶函数的定义：

函数的图象关于原点对称f(x)为奇函数

函数的图象关于y轴对称f(x)为偶函数

3、奇、偶函数的性质：对于f(x)定义域内的任意一个x

如果都有f(－x)=－f(x)f(x)为奇函数

如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数

作业：课本第50页，习题2.5A组，2、3两题

课后反思：

1、判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)=6； （2）f(x)=0； （3）f(x)=x3+x2； （4）f(x)=|2x－3|