精品解析：2020年山东省泰安市新泰实验中学中考数学一模试题（原卷板+解析版）

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2020年山东省泰安市新泰实验中学中考数学一模试题
一、选择题
1. 下列四个数中，最大的一个数是（ ）
A. 2 B. C. 0 D. ﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】根据实数比较大小的方法，可得：﹣2＜0＜＜2，故四个数中，最大的一个数是2．
故选A．
【点睛】本题考查实数的大小比较，无理数与有理数比较大小可平方后再比较大小.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. x2+x2=x4 B. x8÷x2=x4 C. x2•x3=x6 D. （-x）2-x2=0
【答案】D
【解析】
试题解析：A原式=2x2，故A不正确；
B原式=x6，故B不正确；
C原式=x5，故C不正确；
D原式=x2-x2=0，故D正确；
故选D
考点：1.同底数幂的除法；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方．
3. 2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，是正数；当原数的绝对值＜1时，是负数．
【详解】解：将275000000用科学记数法表示为：．
故选C
【点睛】考核知识点：科学记数法.理解科学记数法定义是关键.
4. 某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的俯视图是( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
找到从上面看所得到的图形即可：空心圆柱由上向下看，看到的是一个圆环．故选C
5. 如图，如果∠1＝∠3，∠2＝60°，那么∠4的度数为( )

A. 60° B. 100° C. 120° D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行线的性质求出∠5＝∠2，再根据互补的定理即可解答
【详解】∵∠1＝∠3，
∴a∥b，
∴∠5＝∠2＝60°，
∴∠4＝180°﹣60°＝120°，
故选C.

【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于利用平行线的性质进行解答
6. 某班45名同学某天每人的生活费用统计如表：
生活费（元）

10

15

20

25

30

学生人数（人）

4

10

15

10

6



对于这45名同学这天每人的生活费用，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数是20 B. 众数是20 C. 中位数是20 D. 极差是20
【答案】A
【解析】
【分析】
根据众数、中位数、极差、平均数的概念求解．
【详解】解：这组数据中位数是20，
则众数为：20，
平均数为：20.4，
极差为：30﹣10=20．
故选A．
【点睛】考点：众数；加权平均数；中位数；极差．
7. 解不等式组 ，该不等式组的最大整数解是（　　）
A. 3 B. 4 C. 2 D. ﹣3
【答案】A
【解析】
分析: 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，据此可得其最大整数解．
详解: 解不等式（x﹣1）≤1，得：x≤3，
解不等式1﹣x＜2，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
所以不等式组的最大整数解为3，
故选A．
点睛: 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8. 如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是（ ）

A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
【答案】B
【解析】
试题解析：点P运动2.5秒时P点运动了5cm，
CP=8-5=3cm，
由勾股定理，得
PQ=cm，
故选B．
考点：动点函数图象问题.
9. 如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
连接BD，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°,
∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC,
∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，
∴cos∠BOC==，
∴cos∠A=cos∠BOC=，
又∵cos∠A= ，AB=4，
∴AD= ，故选B.
．
10. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）

A. 10 B. 7 C. 5 D. 4
【答案】C
【解析】
试题分析：如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE的面积等于,故答案选C．

考点：角平分线的性质；三角形的面积公式．
11. 如图，将半径为，圆心角为120°的扇形绕点逆时针旋转60°，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，连接、，利用旋转性质得出∠=60°，之后根据同圆之中半径相等依次求得是等边三角形以及是等边三角形，据此进一步分析得出∠=120°，最后利用图中阴影部分面积=进一步计算求解即可.
【详解】如图，连接、，

∵将半径为，圆心角为120°的扇形绕点逆时针旋转60°，
∴∠=60°，
∵，
∴是等边三角形，
∴∠=∠=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠=60°，
∵，
∴等边三角形，
∴∠=60°，
∴∠=120°，
∴∠=120°，
∵，
∴∠=∠=30°，
∴图中阴影部分面积=
=
=，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质以及扇形面积的计算和等边三角形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
12. 已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（ ）

A. ①② B. 只有① C. ③④ D. ①④
【答案】D
【解析】
试题分析：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，①正确；
∵对称轴为直线，∴，即2a﹣b=0，②错误；
∴时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，③错误；
∴x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，④正确；
故选D．
考点：二次函数图象与系数的关系．

二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
【答案】：k＜1．
【解析】
【分析】
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△==4﹣4k＞0，
解得：k＜1，
则k的取值范围是：k＜1．
故答案为k＜1．
14. 已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（ ， ），（﹣5，﹣ ），从中随机选取一个点，在反比例函数y= 图象上的概率是________．
【答案】．
【解析】
试题分析：根据反比例函数的解析式y=可知xy=1，因此可知符合条件的点为：（，），（﹣5，﹣），所以其概率为：.

15. 爸爸沿街匀速行走，发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车，假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的__倍．
【答案】6
【解析】
【分析】
设103路公交车行驶速度为x米/分钟，爸爸行走速度为y米/分钟，两辆103路公交车间的间距为s米，根据“每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，消去s即可得出x=6y，此题得解．
【详解】设103路公交车行驶速度为x米/分钟，爸爸行走速度为y米/分钟，两辆103路公交车间的间距为s米，根据题意得：，
解得：x=6y．
故答案为6．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，找准等量关系，解题关键是正确列出二元一次方程组．
16. 如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm．

【答案】
【解析】
【分析】
设圆锥的底面圆的半径为r，由于∠AOB＝90°得到AB为圆形纸片的直径，则OB＝cm，根据弧长公式计算出扇形OAB的弧AB的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
连结AB，如图，
∵扇形OAB的圆心角为90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AB为圆形纸片的直径，
∴AB＝4cm，
∴OB＝cm，
∴扇形OAB的弧AB的长＝π，
∴2πr＝π，
∴r＝（cm）．
故答案为．

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式．
17. 如图，灯塔在测绘船的正北方向，灯塔在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔的正南方向，此时测得灯塔在测绘船北偏西的方向上，则灯塔，间的距离为__________海里（结果保留整数）．（参考数据，，，）．

【答案】22.4
【解析】
分析】
根据题意求出，过作于，得出四边形是矩形，求出AE,BE然后利用勾股定理求解即可.
【详解】解：由题意得，，，，，
，∠ANM=26.5°
如图，过作于，
则四边形是矩形，
，，
，
，
海里．
故答案为22.4．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握直角三角形是解题的关键.
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边△A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边△A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边△A3A2B3，…，则点A2 018的横坐标是_____________.

【答案】
【解析】
【分析】
先根据直线l：与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1＝1，∠OB1D＝30°，再过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，An的横坐标为，据此可得点A2018的横坐标.
【详解】解：由直线l：与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（0，），
∴OB1＝1，∠OB1D＝30°，
如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA＝，
即A1的横坐标为，
由题意可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°，
∴∠A1B1B2＝90°，
∴A1B2＝2A1B1＝2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B＝，
即A2的横坐标为，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2C＝
即A3的横坐标为，
同理可得，A4的横坐标为，
由此可得，An的横坐标为，
∴点A2018的横坐标是，
故答案为

【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得An的横坐标.
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 先化简，再求值：
（x﹣1+）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【答案】原式=
【解析】
试题分析：先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再求出不等式组的整数解，由分式有意义得出符合条件的x的值，代入求解可得．
试题解析：原式= ===
解不等式组得：﹣1≤x＜，∴不等式组的整数解有﹣1、0、1、2，∵不等式有意义时x≠±1、0，∴x=2，则原式==0．
点睛：本题主要考查分式的化简求值及解一元一次不等式组的能力，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则及解不等式组的能力、分式有意义的条件是解题的关键．
20. 为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：
知识竞赛成绩分组统计表
组别
分数/分
频数
A
60≤x＜70
a
B
70≤x＜80
10
C
80≤x＜90
14
D
90≤x≤100
18

（1）本次调查一共随机抽取了　 　名参赛学生的成绩；
（2）表1中a＝　 　；
（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是　 　；
（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有　 　人．

【答案】（1）50；（2）8；（3）C；（4）320
【解析】
【分析】
（1）由D组人数及其所占百分比可得；
（2）根据各组人数之和等于总人数可得a的值；
（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】（1）本次调查一共随机抽取的学生有18÷36%＝50（人），
故答案为50．
（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8，
故答案为8．
（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组，
故答案为C．
（4）该校九年级竞赛成绩达到8以上（含80分）的学生有500×＝320（人），
故答案为320．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21. 如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数的图象上．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
【答案】（1）；（2）P（，0）；（3）E（，﹣1），在．
【解析】
【分析】
（1）将点A（，1）代入，利用待定系数法即可求出反比例函数表达式；
（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（，﹣3），计算求出S△AOB=××4=．则S△AOP=S△AOB=．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可；
（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（﹣，﹣1），即可求解．
【详解】（1）∵点A（，1）在反比例函数的图象上，
∴k=×1=，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵A（，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC=，AC=1，由射影定理得=AC•BC，
可得BC=3，B（，﹣3），S△AOB=××4=，
∴S△AOP=S△AOB=．
设点P的坐标为（m，0），
∴×|m|×1=，
∴|m|=，
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m=﹣，
∴点P的坐标为（，0）；
（3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下：
∵OA⊥OB，OA=2，OB=，AB=4，
∴sin∠ABO===，
∴∠ABO=30°，
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，∴BO=BD=，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣OC=，BC﹣DE=1，
∴E（，﹣1），
∵×（﹣1）=，
∴点E在该反比例函数的图象上．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化-旋转．

22. 有一块形状如图的五边形余料，，，，，.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在上，并使所截矩形的面积尽可能大.

（1）若所截矩形材料的一条边是或，求矩形材料的面积；
（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.
【答案】（1）S=30；（2）能，的最大值为30.25.
【解析】
【分析】
（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S1=AB•BC=6×5=30；
②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰三角形，得出AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，求出BG=CH=FH=FG-HG=1，AG=AB-BG=5，得出S2=AE•AG=6×5=30；
（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰三角形，得出MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，设AM=x，则BM=6-x，FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，得出S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：

过点C作CF⊥AE于F，S1=AB•BC=6×5=30；
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：

过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCH=45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，
∴BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1，
∴AG=AB-BG=6-1=5，
∴S2=AE•AG=6×5=30；
（2）能；理由如下：
在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，

∵∠C=135°，
∴∠FCG=45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，
设AM=x，则BM=6-x，
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，
∴S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x=-（x-5.5）2+30.25，
∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
23. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
【答案】(1) 50千克 (2) 12.5
【解析】
【分析】
（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；
（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案.
【详解】（1）设该果农今年收获樱桃x千克，
根据题意得：400﹣x≤7x，
解得：x≥50，
答：该果农今年收获樱桃至少50千克；
（2）由题意可得：
100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，
令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，
整理可得：8y2﹣y=0
解得：y1=0，y2=0.125
∴m1=0（舍去），m2=12.5
∴m2=12.5，
答：m的值为12.5．
24. 如图，抛物线与直线AB交于点A（-1，0），B（4，）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标；
【答案】（1）；（2）S=；点C（）
【解析】
【分析】
【详解】（1）由题意得 .
解得： ,
∴ ;
（2）设直线AB为：，则有 ,解得 ,
∴ ,
则：，
．
．
∵,
∴当时，S有最大值．,
当时，．
∴点 ．
考点：抛物线的综合运用
25. 如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．

【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，则DB＝CD，易得；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，则AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得；
（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，则BE＝AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE＝AB，于是有，这实际是三角形的角平分线定理；
（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1） 等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，


因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，
∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，
AD＝B1D，

综上：这两个等式都成立；

（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：
如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
线段AD其内角角平分线

∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD
∴BE＝AB，
又∵BE＝AB．
∴，
即对任意三角形结论仍然成立；
（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，



∵AD为△ABC的内角角平分线，
∴
∵DE∥AC，


∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质的应用，直角三角形，等边三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．