数学 上海市徐汇区2021-2022学年高三上学期一模数学试卷

2021-2022学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 已知集合，则       ．

2. 若直线的一个法向量是，则直线的倾斜角的大小为       ．

3. 已知复数满足 (为虚数单位)，则       ．

4. 已知某圆锥的底面圆的半径为，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆雉的侧面积为       ．

5. 若函数为偶函数，则实       ．

6. 已知菱形的边长为，点为该菱形边上任意一点，则的取值范围是       ．

7. 设椭圆上的一点到椭圆两焦点的距离的乘积为则当取得最大值时，点的坐标是       ．

8. 设且，则的展开式中常数项为       ．

9. 设函数，若将图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则       ．

10. 秉承“新时代、共享末来”的主题，第四届“进博会”于2021年11月5至10日在上海召开，某高校派出2 名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那么符合条件的不同安排方案共有       种.

11. 已知数列和，其中是的小数点后的第位数字，(例如)，若，且对任意的，均有，则满足的所有的值为       ．

12. 已知函数，设集合且，若对任意的，总有成立，则的最大值为       ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. 已知且，则“”是“”的 (   )

A. 充分非必要条件       B. 必要非充分条件   C. 充要条件     D. 既非充分又非必要条件

14. 如图，已知正方体分别是的中点，则(   )

A. 直线与直线相交，直线平面

B. 直线与直线平行，直线平面

C. 直线与直线垂直，直线平面

D. 直线与直线异面，直线平面

15. 已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是(   )

A. ①和②均为真命题                       B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题                 D. ①为假命题，②为真命题

16. 已知，记表示中的最大值，表示 中的最小值，若 , 数列和满足

，则下列说法中正确的是(   )

A.若，则存在正整数，使得            B.若，则

C.若，则                              D.若，则存在正整数，使得

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，与平面所成角的大小为，为中点.

(1) 求四棱锥的体积;

(2) 求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示).

18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知向量，且，

(1) 求函数在上的单调递减区间;

(2) 已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，求面积的最大值.

19. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

某公司经过测算，计划投资两个项目. 若投入项目资金(万元)，则一年创造的利润为(万元)：若投入项目资金(万元)，则一年创造的利润为（万元）.

(1) 当投入两个项目的资金相同且项目比项目创造的利润高，求投入项目的资金(万元)的取值范围;

(2) 若该公司共有资金30万，全部用于投资两个项目，则该公司一年分别投入两个项目多少万元，创造的利润最大.

20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（,3）小题6分）

在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点.

(1) 求曲线的方程;

(2) 过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若且直线与直线交于点，求 的值；

(3) 若点在轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值.

21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（,3）小题8分）

设有数列，对于给定的，记满足不等式：

的构成的集合为，并称数列具有性质.

(1) 若，数列： 具有性质 , 求实数 的取值范围;

(2) 若，数列是各项均为正整数且公比大于1的等比数列，且数列不

具有性质，设，试判断数列是否具有性质，并说明理由；

（3）若数列具有性质，当 时, 都为单元素集合，求证：数列是等差数列.

参考答案

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 2.   3.   4. 5. 6. 7. 或  8.

9.   10 .  11. 或 12.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）

13. D  14. C  15. A  16.  B

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17．(1) 的体积.  (2) .

18．(1) .  (2)

19. (1) 当时，满足条件.

(2) 当 万元投入项目，万元投入项目时获得利润最大，为万元.

20. (1) 方程为.

(2) .

(3) 面积最小值为

21. （1）.  (2) 不具有性质.（3）略