2022年中考数学一轮复习训练：全等三角形（Word版含答案）

这是一份2022年中考数学一轮复习训练：全等三角形（Word版含答案），共13页。

1.已知在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',添加下列条件,不能得到△ABC≌△A'B'C'的是( )
A.BC=B'C'B.∠A=∠A'
C.∠C=∠C'D.∠B=∠B'=90°
2.如图,∠C=∠D=90°,添加下列条件中的1个:①AC=AD;②∠ABC=∠ABD;③BC=BD.其中能判定△ABC≌△ABD的条件的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
考点2 全等三角形的性质
3.[2020山东淄博]如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是( )
A.AC=DEB.∠BAD=∠CAE
C.AB=AED.∠ABC=∠AED
4.[2021黑龙江哈尔滨]如图,△ABC≌△DEC,点A和点D是对应顶点,点B和点E是对应顶点,过点A作AF⊥CD,垂足为点F,若∠BCE=65°,则∠CAF的度数为( )
A.30°B.25°C.35°D.65°
考点3 全等三角形的实际应用
5.[2021广西柳州]如图,有一池塘,要测池塘两端点A,B之间的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A,B,连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是点A,B的距离,为什么?请结合解题过程,完成本题的证明.
证明:在△DEC和△ABC中,
CD=( CA ),( ∠DCE=∠ACB ),CE=( CB ),
∴△DEC≌△ABC(SAS),
∴ .
考点4 全等三角形的判定与性质的综合应用
6.[2020湖北黄石]如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别是AC,AB边上的点,CD=AE,BD与CE交于点P,则∠BPC等于( )
A.135°B.150°C.120°D.130°
(
7.[2021湖北鄂州]如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(-1,0),点A的坐标为(-3,3),将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B,则点B的坐标为 .
8.[2020江西]如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为 .
9.[2021湖北黄石]如图,D是△ABC的边AB上一点,CF∥AB,DF交AC于E点,DE=EF.
(1)求证:△ADE≌△CFE;
(2)若AB=5,CF=4,求BD的长.
10.[2021浙江杭州]在①AD=AE,②∠ABE=∠ACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
问题:如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在AB边上(不与点A,点B重合),点E在AC边上(不与点A,点C重合),连接BE,CD,BE与CD相交于点F.若 ,求证:BE=CD.
【能力提升】
11.[2021陕西]如图,AB,BC,CD,DE是四根长度均为5 cm 的火柴棒,点A,C,E共线.若AC=6 cm,CD⊥BC,则线段CE的长度为( )
A.6 cmB.7 cmC.62 cmD.8 cm
12.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,AD=4,AB=10,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点,连接PM,PN,MN.
(1)△PMN面积是 92 .
(2)把△ADE绕点A在平面内自由旋转,△PMN面积的最大值为 492 .
13.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,CF⊥AD于点E,交AB于点F.
(1)如图(1),CP平分∠ACB,交AD于点P.
①求证:CP=BF;②求AFCP的值.
(2)如图(2),连接BE并延长交AC于点Q,若BEEQ=32,求tan∠BQC的值.
图(1) 图(2)
14.下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.
小明:如图(1),(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)分别作线段CE,DF的垂直平分线l1,l2,交点为P,垂足分别为点G,H;(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线.
简述理由如下:
由作图知,∠PGO=∠PHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以Rt△PGO≌Rt△PHO,则∠POG=∠POH,即射线OP是∠AOB的平分线.
小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图(2),(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)连接DE,CF,交点为P;(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线.
……
图(1) 图(2)
任务:
(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是 (填序号).
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗?请判断并说明理由.
图(3)
(3)如图(3),已知∠AOB=60°,点E,F分别在射线OA,OB上,且OE=OF=3+1.点C,D分别为射线OA,OB上的动点,且OC=OD,连接DE,CF,交点为P,当∠CPE=30°时,直接写出线段OC的长.
答案
1.C 2.D 3.B 4.B
5.CA ∠DCE=∠ACB CB DE=AB
6.C ∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠ACB=60°.在△ACE和△CBD中,AC=CB,∠CAE=∠BCD,AE=CD,∴△ACE≌△CBD,∴∠ACE=∠CBD.∵∠ACE+∠BCE=60°,∴∠CBD+∠BCE=60°,∴∠BPC=120°.
7.(2,2) 如图,连接CA,CB,分别过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为点E,F.∵∠ACB=∠CFB=90°,∴∠ACE+∠BCF=90°,∠BCF+∠B=90°,∴∠ACE=∠B.在△AEC和△CFB中, ∠AEC=∠CFB,∠ACE=∠B,AC=CB, ∴△AEC≌△CFB,∴AE=CF,EC=BF.∵A(-3,3),C(-1,0),∴OE=3,CF=AE=3,OC=1,∴BF=EC=2,OF=CF-OC=2,∴B(2,2).
8.82° ∵CA平分∠DCB,∴∠BCA=∠DCA.在△BCA和△DCA中,CB=CD,∠BCA=∠DCA,AC=AC,∴△BCA≌△DCA,∴∠BAC=∠DAC.又∵∠DAC+∠CAE=180°,∴∠DAC=180°-49°=131°,∴∠BAC=131°,即∠BAE+∠EAC=131°,∴∠BAE=131°-49°=82°.
9.(1)证明:∵CF∥AB,
∴∠ADE=∠F,∠A=∠ECF.
在△ADE和△CFE中,
∠A=∠ECF,∠ADE=∠F,DE=EF,
∴△ADE≌△CFE.
(2)∵△ADE≌△CFE,
∴AD=CF=4.
∴BD=AB-AD=5-4=1.
AD=AE
证明:因为∠ABC=∠ACB,
所以AB=AC,
又因为AD=AE,∠A=∠A,
所以△ABE≌△ACD,
所以BE=CD.
11.D 如图,分别过点B,D作AE的垂线,垂足分别为点M,N,则∠BMC=∠CND=90°.∵AB=BC,BM⊥AC,∴CM=12AC=3 cm,∴BM=BC2-CM2=4 cm.∵CD⊥BC,∴∠BCM+∠DCN=90°.又∵∠BCM+∠CBM=90°,∴∠CBM=∠DCN.又∵BC=CD,∠BMC=∠CND=90°,∴△BCM≌△CDN,∴CN=BM=4 cm.∵CD=DE,DN⊥CE,∴CE=2CN=8 cm.
12.(1)92 (2)492 (1)由题意可知AB=AC=10,AD=AE=4,∴BD=CE=10-4=6.∵点M,P,N分别是DE,DC,BC的中点,∴MP是△CDE的中位线,NP是△BCD的中位线,∴MP∥AC,NP∥AB,MP=12CE=3,NP=12BD=3.又AC⊥AB,∴MP⊥NP, ∴△MPN是等腰直角三角形,∴S△PMN=12×32=92.(2)如图,连接BD,CE,直线BD交直线CE于点Q.易证△ADB≌△AEC,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.又∠ABD+∠QBC+∠ACB=90°,∴∠ACE+∠QBC+∠ACB=90°, ∴∠BQC=90°,∴BD⊥CE,结合BD=CE及三角形中位线定理,易证△MPN是等腰直角三角形.易知点E在以点A为圆心,4为半径的圆上,故当点E在CA的延长线上时,CE最长,为10+4=14,此时MP也最长,为12CE=7,∴△PMN面积的最大值为12×72=492.
13.(1)①证明:∵CP平分∠ACB,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠PCD=∠ACP=45°,∠B=45°.
∵∠APC=∠PCD+∠CDP=∠PCD+∠B+∠BAD=90°+∠BAD,∠BFC=∠FEA+∠BAD=90°+∠BAD,
∴∠APC=∠BFC.
在△APC和△CFB中,∠ACP=∠B,∠APC=∠CFB,AC=CB,∴△APC≌△CFB,
图(1)
∴CP=BF.
②如图(1),过点B分别作AD,CF的垂线,分别交AD,CF的延长线于点G,H.∵∠H=∠G=∠HEG=90°,
∴四边形BGEH是矩形,
∴BH=EG.
∵DE∥BH,BD=CD,∴EH=CE.
在△ACE和△CBH中,
∠AEC=∠H,∠CAE=∠BCH,AC=BC,
∴△ACE≌△CBH,∴CE=BH,AE=CH,∴EG=CE,AE=2CE.
又∵EF∥BG,∴AFBF=AEEG=2CECE=2.
由①得CP=BF,∴AFCP=2.
(2)如图(2),过点B作CE的平行线,交AC的延长线于点M,则∠CBM=∠DCE.又∵∠DCE+∠CDE=90°,∠CBM+∠M=90°,∴∠CDE=∠M.
在△ACD和△BCM中,∠ACD=∠BCM=90°,∠CDA=∠M,AC=BC,
图(2)
∴△ACD≌△BCM,
∴CM=CD=12BC.
∵CE∥BM,∴CMCQ=BEEQ,
∴12BCCQ=BEEQ,即BC2CQ=BEEQ,
∴tan∠BQC=BCCQ=2BEEQ=3.
14.解:(1)⑤
(2)是.
理由:由作图可知,OC=OD,OF=OE.又∵∠COF=∠DOE,∴△COF≌△DOE,∴∠OFC=∠OED.连接EF.∵OF=OE,∴∠OFE=∠OEF,∴∠PFE=∠PEF,∴PF=PE.又∵OP=OP,OF=OE,∴△FOP≌△EOP,∴∠FOP=∠EOP,即射线OP是∠AOB的平分线.
(3)2或2+3.